Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Почему категории поведения при наблюдении операционализируют до сбора данных?

AЧтобы наблюдение превратилось в эксперимент
BЧтобы наблюдатели согласованно регистрировали одно и то же поведение, повышая надёжность
CЧтобы гипотезу можно было изменить после просмотра данных
DЧтобы участники точно знали, что регистрируется

2.Методы исследования в психологииСложная

Во множественной регрессии, предсказывающей экзаменационные баллы по часам учёбы и сну, R² = 0,36. Что это означает?

AЧасы учёбы обусловливают 36% успеха на экзамене
BПредикторы вместе объясняют 36% дисперсии экзаменационных баллов
CЭкзамен сдали 36% студентов
DКорреляция между предикторами равна 0,36

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 15, 59, 10, 51, 40.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений меньше 58?

μ = 50σ = 8x = 58

P =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,15, 0,05, 0,35, 0,35

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

Игра стоит €5. Вы выигрываете €10 с вероятностью 0,1 и €50 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €5€10: p = 0,1€50: p = 0,05

E(G) = €

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 22,7 и 41,3 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x₁ = 22,7x₂ = 41,3

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,04 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,04 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 12 элементов имеет среднее 110 и стандартное отклонение s = 17. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 12x̄ = 110s = 1790%t(11) = 1,796

E =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 33. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?

σ = 33E = 490%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 118,7 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 118,7s = 5n = 49

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 2? Стандартное отклонение — 5. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 5E = 290%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (5,5, 18). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(5,5, 18)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 2002 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,05, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2203 × 2α = 0,05

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Чтобы наблюдатели согласованно регистрировали одно и то же поведение, повышая надёжность

Почему это ответ

Чёткие наблюдаемые категории (например, «бьёт открытой ладонью») уменьшают субъективность суждений и повышают надёжность между наблюдателями.

Ответ

B · Чтобы наблюдатели согласованно регистрировали одно и то же поведение, повышая надёжность

2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Предикторы вместе объясняют 36% дисперсии экзаменационных баллов

Почему это ответ

R² показывает, какая часть изменчивости результата объясняется всеми предикторами вместе. Он не устанавливает причинность.

Ответ

B · Предикторы вместе объясняют 36% дисперсии экзаменационных баллов

3.Описательная статистика

Ответ: s = 21,69

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 175/5 = 35

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−20)² + 24² + (−25)² + 16² + 5² = 1882

Стандартное отклонение

s = √(1882/4) = 21,69

Ответ

s = 21,69

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8413

Стандартизуйте

z = 1

Таблица нормального распределения

Φ(1) = 0,8413

P = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,81

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,1 + 1·0,15 + 2·0,05 + 3·0,35 + 4·0,35 = 2,7

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,1 + 1·0,15 + 4·0,05 + 9·0,35 + 16·0,35 = 9,1

Дисперсия

Var(X) = 9,1 − 2,7² = 1,81

Ответ

Var(X) = 1,81

6.Вероятность

Ответ: E(G) = −1,5 €

Чистые исходы

G: 5 (p = 0,1), 45 (p = 0,05), −5 (p = 0,85)

Математическое ожидание

E(G) = 5·0,1 + 45·0,05 − 5·0,85 = −1,5 €

Ответ

E(G) = −1,5 €

Отрицательное значение означает, что в среднем вы теряете деньги.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8789

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (22,7 − 32)/6 = −1,55

z₂ = (41,3 − 32)/6 = 1,55

Площадь между

P = Φ(1,55) − Φ(−1,55) = 0,9394 − 0,06057 = 0,8789

Ответ

P = 0,8789

8.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9868

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22

Вероятность

P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868

Ответ

P = 0,9868

9.Доверительные интервалы

Ответ: E = 8,814

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 11, t = 1,796

Предельная ошибка

E = 1,796·17/√12 = 8,814

Ответ

E = 8,814

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 185

Выразите n

n = (1,645·33/4)² = 184,2

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 185

Ответ

n = 185

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,82

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143

Статистика критерия

t = (118,7 − 120)/0,7143 = −1,82

Ответ

t = −1,82

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 17

Выразите n

n = (1,645·5/2)² = 16,91

Округлите вверх

n = 17

Ответ

n = 17

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9725

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 380/6 = 63,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 92

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 497,3

Коэффициент детерминации

r² = 92²/(17,5·497,3) = 0,9725

Ответ

r² = 0,9725

Прямая объясняет около 97,25% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 3,124

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 116/6 = 19,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −39

Линия регрессии

b = −39/17,5 = −2,229

a = 19,33 − (−2,229)·3,5 = 27,13

ŷ = 27,13 − 2,229·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 27,13 + (−2,229)·5,5 = 14,88

Остаток

e = 18 − 14,88 = 3,124

Ответ

e = 3,124

Точка лежит выше прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 12,12

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

курящие: 120·110/200 = 66, 120·90/200 = 54

некурящие: 80·110/200 = 44, 80·90/200 = 36

Статистика хи-квадрат

χ² = (78 − 66)²/66 + (42 − 54)²/54 + (32 − 44)²/44 + (48 − 36)²/36

χ² = 12,12

Ответ

χ² = 12,12

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 3,393

Ожидаемые частоты

возраст 18–30: 56, 24

возраст 31–50: 42, 18

возраст 51+: 56, 24

Статистика хи-квадрат

χ² = (62 − 56)²/56 + (18 − 24)²/24 + (39 − 42)²/42 + (21 − 18)²/18 + (53 − 56)²/56 + (27 − 24)²/24

χ² = 3,393

Решение

df = 2, χ²_crit = 5,991

3,393 < 5,991

Ответ

χ² = 3,393

χ² меньше критического значения, поэтому H₀ не отвергается: значимых свидетельств связи нет.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology