Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Чтобы получить выборку с теми же пропорциями студентов первого, второго и третьего курсов, что и в университете, исследователь должен использовать:

AВыборку добровольцев
BДоступную выборку
CСтратифицированную выборку
DВыборку методом «снежного кома»

2.Методы исследования в психологииСложная

Пациенты, отобранные из-за крайне высоких показателей тревожности, при повторном тестировании показывают более низкие результаты даже без лечения. Каково наиболее вероятное объяснение?

AКонтрбалансировка
BХоторнский эффект
CРегрессия к среднему
DЭффект потолка

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 27, 11, 43, 35, 33.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 62.

μ = 70σ = 10x = 62

z =

5.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 5 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 5

P =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 5X + 1. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,2, 0,35, 0,2Y = 5X + 1

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 22,7 и 39,2 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x₁ = 22,7x₂ = 39,2

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 95 % значений (95-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 95%

x = баллов

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 6 элементов имеет среднее 19 и стандартное отклонение s = 16,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 6x̄ = 19s = 16,599%t(5) = 4,032

нижняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 12. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 3?

σ = 12E = 399%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 100 студентов имеет средний балл 201,4 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 201,4s = 12n = 100

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1,5? Стандартное отклонение — 8. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 8E = 1,595%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 95Σy = 477Σx² = 1845Σy² = 46699Σxy = 9277

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 161?

n = 6ŷ = 161

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1402 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,01, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 1803 × 2α = 0,01

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Стратифицированную выборку

Почему это ответ

Стратифицированная выборка выделяет подгруппы (страты) и случайно отбирает участников из каждой пропорционально её доле в популяции, что делает выборку более репрезентативной.

Ответ

C · Стратифицированную выборку

2.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Регрессия к среднему

Почему это ответ

Когда людей отбирают по экстремальным значениям, ошибка измерения и случайность приводят к тому, что их последующие результаты смещаются к среднему. Контрольные группы помогают отделить это от эффекта лечения.

Ответ

C · Регрессия к среднему

3.Описательная статистика

Ответ: s = 11,97

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 149/5 = 29,8

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−2,8)² + (−18,8)² + 13,2² + 5,2² + 3,2² = 572,8

Стандартное отклонение

s = √(572,8/4) = 11,97

Ответ

s = 11,97

4.Описательная статистика

Ответ: z = −0,8

Стандартизуйте

z = (62 − 70)/10 = −0,8

Ответ

z = −0,8

5.Вероятность

Ответ: P = 0,5981

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁵ = 0,4019

P = 1 − 0,4019 = 0,5981

Ответ

P = 0,5981

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 10,72

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 3, Var(X) = 4,6, σ_X = 2,145

Линейное преобразование

σ_Y = |5|·2,145 = 10,72

Ответ

σ_Y = 10,72

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·3 + 1 = 16.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8244

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (22,7 − 32)/6 = −1,55

z₂ = (39,2 − 32)/6 = 1,2

Площадь между

P = Φ(1,2) − Φ(−1,55) = 0,8849 − 0,06057 = 0,8244

Ответ

P = 0,8244

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 124,7 баллов

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Обратно к x

x = 100 + 1,645·15 = 124,67 баллов

Ответ

x = 124,67 баллов

9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −8,16

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 5, t = 4,032

Предельная ошибка

E = 4,032·16,5/√6 = 27,16

Интервал

19 ± 27,16 → [−8,16, 46,16]

Ответ

нижняя граница = −8,16

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 107

Выразите n

n = (2,576·12/3)² = 106,2

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 107

Ответ

n = 107

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,167

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2

Статистика критерия

t = (201,4 − 200)/1,2 = 1,167

Ответ

t = 1,167

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 110

Выразите n

n = (1,96·8/1,5)² = 109,3

Округлите вверх

n = 110

Ответ

n = 110

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9796

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 9277 − 95·477/5 = 214

S_xx = 1845 − 95²/5 = 40

S_yy = 46699 − 477²/5 = 1193

Коэффициент корреляции

r = 214/√(40·1193) = 0,9796

Ответ

r = 0,9796

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 31,5

Средние

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 769/6 = 128,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 862,5

Линия регрессии

b = 862,5/157,5 = 5,476

a = 128,2 − 5,476·25,5 = −11,48

ŷ = −11,48 + 5,476·x

Найдите x

x = (161 − (−11,48))/5,476 = 31,5

Ответ

x = 31,5

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 0,6417

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

дневная смена: 60·70/140 = 30, 60·35/140 = 15, 60·35/140 = 15

ночная смена: 80·70/140 = 40, 80·35/140 = 20, 80·35/140 = 20

Статистика хи-квадрат

χ² = (31 − 30)²/30 + (13 − 15)²/15 + (16 − 15)²/15 + (39 − 40)²/40 + (22 − 20)²/20 + (19 − 20)²/20

χ² = 0,6417

Ответ

χ² = 0,6417

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 1,111

Ожидаемые частоты

возраст 18–30: 18, 42

возраст 31–50: 18, 42

возраст 51+: 18, 42

Статистика хи-квадрат

χ² = (20 − 18)²/18 + (40 − 42)²/42 + (19 − 18)²/18 + (41 − 42)²/42 + (15 − 18)²/18 + (45 − 42)²/42

χ² = 1,111

Решение

df = 2, χ²_crit = 9,210

1,111 < 9,210

Ответ

χ² = 1,111

χ² меньше критического значения, поэтому H₀ не отвергается: значимых свидетельств связи нет.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology