Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие
P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Какие данные собирает открытый вопрос в интервью?

  1. AДанные шкалы отношений
  2. BИнтервальные данные
  3. CТолько номинальные количественные данные
  4. DКачественные данные
2.Методы исследования в психологииСложная

«Кризис воспроизводимости» в психологии означает:

  1. AЧто многие опубликованные результаты не воспроизводятся в новых исследованиях
  2. BНехватку участников для экспериментов
  3. CКопирование опросников без разрешения
  4. DЮридическое требование к журналам отклонять все присланные репликационные исследования
3.Описательная статистикаСредняя
202530354045

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 19, 45, 39, 22, 47.

n = 5
s =
4.Описательная статистикаСложная
z −2−1012

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений меньше 85?

μ = 100σ = 10x = 85
P =
5.ВероятностьСредняя
n = 13k = 2N = ?

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 2 человек из группы из 13 человек? Порядок не важен.

n = 13k = 2
N =
6.ВероятностьСложная
€p(x)−100,75300,24900,05

Игра стоит €10. Вы выигрываете €40 с вероятностью 0,2 и €500 с вероятностью 0,05; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €10€40: p = 0,2€500: p = 0,05
E(G) = €
7.Нормальное распределениеСредняя
−3−2−10123zзакрашенная площадь справа от z = 0,0427

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,0427. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,0427
z =
8.Нормальное распределениеСложная
380420460500540580620hверх 20%

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 20% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h20%
x = h
9.Доверительные интервалыСредняя
n = 30, s = 15,5L = ?Ux̄ = 49,5E95%

Выборка из 30 элементов имеет среднее 49,5 и стандартное отклонение s = 15,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 30x̄ = 49,5s = 15,595%t(29) = 2,045
нижняя граница =
10.Доверительные интервалыСложная
σ = 9, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 499%

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 9. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?

σ = 9E = 499%
n =
11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
t −2,0302,03

Выборка из 36 студентов имеет средний балл 500,8 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 500,8s = 4n = 36
t =
12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0,05βσ = 21, мощность 95%, n = ?

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 5 единиц с мощностью 95 %. Стандартное отклонение равно 21. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 95%δ = 5σ = 21zα = 1,645zβ = 1,645
n =
13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy24044864984910551258xy510405060

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6
r =
14.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy228333435543648746xy246304050x = 5,5

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 5,5.

n = 6x = 5,5
ŷ =
15.Критерии хи-квадратСредняя
низкийсреднийвысокийИтогогород1841968село11323679Итого297345147

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «город, низкий».

итог по строке = 68итог по столбцу = 29N = 147
E =
16.Критерии хи-квадратСложная
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 5 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). По таблице найдите критическое значение χ²crit при уровне значимости α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Качественные данные

Почему это ответ

Открытые вопросы дают богатые качественные данные, которые сложнее анализировать статистически, чем ответы на закрытые вопросы.

Ответ

D · Качественные данные
2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Что многие опубликованные результаты не воспроизводятся в новых исследованиях

Почему это ответ

Крупные репликационные проекты обнаружили, что многие эффекты меньше или отсутствуют, что связано с публикационной предвзятостью, малыми выборками и гибким анализом. Одним из ответов стала предварительная регистрация.

Ответ

A · Что многие опубликованные результаты не воспроизводятся в новых исследованиях
3.Описательная статистика

Ответ: s = 13,07

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 172/5 = 34,4

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−15,4)² + 10,6² + 4,6² + (−12,4)² + 12,6² = 683,2

Стандартное отклонение

s = √(683,2/4) = 13,07

Ответ

s = 13,07
4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,06681

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблица нормального распределения

Φ(−1,5) = 0,06681
P = 0,06681

Ответ

P = 0,06681
5.Вероятность

Ответ: N = 78

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(13, 2) = (13·12)/(2·1) = 78

Ответ

N = 78
6.Вероятность

Ответ: E(G) = 23 €

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.

Чистые исходы

G: 30 (p = 0,2), 490 (p = 0,05), −10 (p = 0,75)

Математическое ожидание

E(G) = 30·0,2 + 490·0,05 − 10·0,75 = 23 €

Ответ

E(G) = 23 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

7.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,72

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,0427 = 0,9573

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9573 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,72

Ответ

z = 1,72
8.Нормальное распределение

Ответ: x = 534 h

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,8

z из таблицы

z ≈ 0,84

Возврат к исходным единицам

x = 500 + 0,84·40 = 534 h

Ответ

x = 534 h
9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 43,71

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 29, t = 2,045

Предельная ошибка

E = 2,045·15,5/√30 = 5,787

Интервал

49,5 ± 5,787 → [43,71, 55,29]

Ответ

нижняя граница = 43,71
10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 34

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·9/4)² = 33,59

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 34

Ответ

n = 34
11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√36 = 4/6 = 0,6667

Статистика критерия

t = (500,8 − 500)/0,6667 = 1,2

Ответ

t = 1,2
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| < 2.03, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 191

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 1,645)·21/5)² = 190,9

Округлите вверх

n = 191

Ответ

n = 191
13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9505

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 299/6 = 49,83

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 111
Syy = Σ(y − ȳ)² = 194,8

Коэффициент корреляции

r = 111/√(70·194,8) = 0,9505

Ответ

r = 0,9505
14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 42,92

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 233/6 = 38,83

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 71,5

Линия регрессии

b = 71,5/17,5 = 4,086
a = 38,83 − 4,086·4,5 = 20,45
ŷ = 20,45 + 4,086·x

Прогноз

ŷ = 20,45 + 4,086·5,5 = 42,92

Ответ

ŷ = 42,92
15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 13,41

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 68·29/147 = 13,41

Ответ

E = 13,41
16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²crit = 9,488

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Степени свободы

df = 5 − 1 = 4

Таблица

χ²crit(df = 4, α = 0,05) = 9,488

Ответ

χ²crit = 9,488

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology