Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Операционализация означает:

AИнструктирование участников
BОпределение переменных точно и измеримо
CВыбор статистического теста
DПроведение исследования в реальной рабочей обстановке, например в больнице

2.Методы исследования в психологииСложная

Тест «интеллекта» в основном измеряет, насколько быстро люди печатают. Какого вида валидности явно не хватает?

AКонструктной валидности
BРетестовой надёжности
CМежэкспертной надёжности
DВнутренней согласованности

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 35, 20, 24, 44, 35, 13, 11.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений больше 65?

μ = 50σ = 10x = 65

P =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,15, 0,3, 0,35

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

Игра стоит €10. Вы выигрываете €20 с вероятностью 0,15 и €200 с вероятностью 0,01; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €10€20: p = 0,15€200: p = 0,01

E(G) = €

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,8789. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,8789

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 25 % значений (25-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 25%

x = баллов

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 15 элементов имеет среднее 97,5 и стандартное отклонение s = 19. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 15x̄ = 97,5s = 1995%t(14) = 2,145

верхняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 21 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 8,4 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 20 2,5 % распределения χ² лежит ниже 9,591 и 2,5 % — выше 34,17.

n = 21s = 8,4 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 119,1 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 119,1s = 4n = 64

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 0,5? Стандартное отклонение — 20. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 20E = 0,595%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 15Σy = 99Σx² = 55Σy² = 1985Σxy = 283

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (4,5, 60). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(4,5, 60)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1002 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 8 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Определение переменных точно и измеримо

Почему это ответ

Операционализация превращает абстрактные понятия в конкретные измерения, чтобы исследование можно было воспроизвести.

Ответ

B · Определение переменных точно и измеримо

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Конструктной валидности

Почему это ответ

Конструктная валидность — это то, действительно ли методика отражает лежащий в её основе конструкт. Тест может быть надёжным, измеряя не то.

Ответ

A · Конструктной валидности

3.Описательная статистика

Ответ: s = 12,38

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 182/7 = 26

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 9² + (−6)² + (−2)² + 18² + 9² + (−13)² + (−15)² = 920

Стандартное отклонение

s = √(920/6) = 12,38

Ответ

s = 12,38

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,06681

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблица нормального распределения

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Ответ

P = 0,06681

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,26

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,2 + 1·0,15 + 2·0,3 + 3·0,35 = 1,8

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,15 + 4·0,3 + 9·0,35 = 4,5

Дисперсия

Var(X) = 4,5 − 1,8² = 1,26

Ответ

Var(X) = 1,26

6.Вероятность

Ответ: E(G) = −5 €

Чистые исходы

G: 10 (p = 0,15), 190 (p = 0,01), −10 (p = 0,84)

Математическое ожидание

E(G) = 10·0,15 + 190·0,01 − 10·0,84 = −5 €

Ответ

E(G) = −5 €

Отрицательное значение означает, что в среднем вы теряете деньги.

7.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,55

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,8789)/2 = 0,9394

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9394 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,55

Ответ

z = 1,55

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 58,26 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Обратно к x

x = 65 + −0,6745·10 = 58,26 баллов

Ответ

x = 58,26 баллов

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 108

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 14, t = 2,145

Предельная ошибка

E = 2,145·19/√15 = 10,52

Интервал

97,5 ± 10,52 → [86,98, 108]

Ответ

верхняя граница = 108

10.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 12,13 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 20·8,4² = 1411

Границы для σ²

1411/34,17 = 41,3

1411/9,591 = 147,1

Граница для σ

σ = √147,1 = 12,13 µm

Ответ

σ = 12,13 µm

95 % интервал для σ: [6,426, 12,13] µm.

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,8

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√64 = 4/8 = 0,5

Статистика критерия

t = (119,1 − 120)/0,5 = −1,8

Ответ

t = −1,8

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 6147

Выразите n

n = (1,96·20/0,5)² = 6147

Округлите вверх

n = 6147

Ответ

n = 6147

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,889

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 283 − 15·99/5 = −14

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 1985 − 99²/5 = 24,8

Коэффициент корреляции

r = −14/√(10·24,8) = −0,889

Ответ

r = −0,889

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −2,829

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 354/6 = 59

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 67

Линия регрессии

b = 67/17,5 = 3,829

a = 59 − 3,829·3,5 = 45,6

ŷ = 45,6 + 3,829·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 45,6 + 3,829·4,5 = 62,83

Остаток

e = 60 − 62,83 = −2,829

Ответ

e = −2,829

Точка лежит ниже прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 1,65

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

город: 60·20/100 = 12, 60·45/100 = 27, 60·35/100 = 21

село: 40·20/100 = 8, 40·45/100 = 18, 40·35/100 = 14

Статистика хи-квадрат

χ² = (13 − 12)²/12 + (29 − 27)²/27 + (18 − 21)²/21 + (7 − 8)²/8 + (16 − 18)²/18 + (17 − 14)²/14

χ² = 1,65

Ответ

χ² = 1,65

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 12,59

Степени свободы

df = 8 − 1 − 1 = 6

Таблица

χ²_crit(df = 6, α = 0,05) = 12,592

Ответ

χ²_crit = 12,592

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology