Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Какие данные собирает открытый вопрос в интервью?

AДанные шкалы отношений
BИнтервальные данные
CКачественные данные
DТолько номинальные количественные данные

2.Методы исследования в психологииСложная

Участник принимает препарат или сахарную таблетку, но не знает, что именно, тогда как исследователь знает. Какова эта схема и какое смещение остаётся возможным?

AДвойная слепая; никакое смещение невозможно
BОткрытое испытание; эффекты плацебо полностью контролируются
CПростая слепая; предвзятость экспериментатора всё ещё возможна
DПростая слепая; требовательные характеристики невозможны

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 24, 32, 27, 32, 29, 10.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 20. Найдите z-оценку z для результата 50.

μ = 70σ = 20x = 50

z =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,1, 0,15, 0,35, 0,3

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

В тесте 12 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,25, независимо. Какова вероятность P ровно 3 верных ответов?

n = 12p = 0,25k = 3

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 176,25 и 179,75 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 178σ = 7x₁ = 176,25x₂ = 179,75

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 15% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h15%

x = h

9.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 60 телефонов, среднее 116 h, известное стандартное отклонение 3 h. Модель 2: 80 телефонов, среднее 110,5 h, известное стандартное отклонение 14 h. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 116 hσ₁ = 3 hn₂ = 80x̄₂ = 110,5 hσ₂ = 14 h95%

нижняя граница = h

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 35. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?

σ = 35E = 499%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

16 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 6,39, стандартное отклонение разностей — 7,3. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μ_d = 0.

n = 16d̄ = 6,39s_d = 7,3

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 0,5? Стандартное отклонение — 20. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 20E = 0,590%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 126Σy = 671Σx² = 2716Σy² = 77859Σxy = 14532

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (5, 51). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(5, 51)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 9 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Качественные данные

Почему это ответ

Открытые вопросы дают богатые качественные данные, которые сложнее анализировать статистически, чем ответы на закрытые вопросы.

Ответ

C · Качественные данные

2.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Простая слепая; предвзятость экспериментатора всё ещё возможна

Почему это ответ

В простой слепой схеме участники не знают своего условия, что контролирует ожидания эффекта плацебо. Знание исследователя всё ещё может влиять на результаты, поэтому предпочтительны двойные слепые схемы.

Ответ

C · Простая слепая; предвзятость экспериментатора всё ещё возможна

3.Описательная статистика

Ответ: s = 8,262

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 154/6 = 25,67

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−1,667)² + 6,333² + 1,333² + 6,333² + 3,333² + (−15,67)² = 341,3

Стандартное отклонение

s = √(341,3/5) = 8,262

Ответ

s = 8,262

4.Описательная статистика

Ответ: z = −1

Стандартизуйте

z = (50 − 70)/20 = −1

Ответ

z = −1

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,627

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,1 + 2·0,1 + 3·0,15 + 4·0,35 + 5·0,3 = 3,65

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,1 + 9·0,15 + 16·0,35 + 25·0,3 = 14,95

Дисперсия

Var(X) = 14,95 − 3,65² = 1,627

Ответ

Var(X) = 1,627

6.Вероятность

Ответ: P = 0,2581

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 3) = 220·0,25³·0,75⁹ = 220·0,01563·0,07508 = 0,2581

Ответ

P = 0,2581

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1974

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (176,25 − 178)/7 = −0,25

z₂ = (179,75 − 178)/7 = 0,25

Площадь между

P = Φ(0,25) − Φ(−0,25) = 0,5987 − 0,4013 = 0,1974

Ответ

P = 0,1974

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 458 h

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,15

z из таблицы

z ≈ −1,04

Возврат к исходным единицам

x = 500 − 1,04·40 = 458 h

Ответ

x = 458 h

9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 2,34 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 116 − 110,5 = 5,5

Стандартная ошибка

SE = √(3²/60 + 14²/80) = 1,612

Предельная ошибка

E = 1,96·1,612 = 3,16

Интервал

5,5 ± 3,16 → [2,34, 8,66]

Ответ

нижняя граница = 2,34 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 509

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·35/4)² = 508,1

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 509

Ответ

n = 509

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 3,501

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 7,3/√16 = 1,825

Статистика критерия

t = 6,39/1,825 = 3,501

Ответ

t = 3,501

При df = 15 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,131; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 4330

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Выразите n

n = (1,645·20/0,5)² = 4330

Округлите вверх

n = 4330

Ответ

n = 4330

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9928

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 14532 − 126·671/6 = 441

S_xx = 2716 − 126²/6 = 70

S_yy = 77859 − 671²/6 = 2819

Коэффициент корреляции

r = 441/√(70·2819) = 0,9928

Ответ

r = 0,9928

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 4,4

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 249/5 = 49,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

Линия регрессии

b = 128/40 = 3,2

a = 49,8 − 3,2·6 = 30,6

ŷ = 30,6 + 3,2·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 30,6 + 3,2·5 = 46,6

Остаток

e = 51 − 46,6 = 4,4

Ответ

e = 4,4

Точка лежит выше прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 0,9143

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

город: 40·40/160 = 10, 40·56/160 = 14, 40·64/160 = 16

село: 120·40/160 = 30, 120·56/160 = 42, 120·64/160 = 48

Статистика хи-квадрат

χ² = (12 − 10)²/10 + (12 − 14)²/14 + (16 − 16)²/16 + (28 − 30)²/30 + (44 − 42)²/42 + (48 − 48)²/48

χ² = 0,9143

Ответ

χ² = 0,9143

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 18,48

Степени свободы

df = 9 − 1 − 1 = 7

Таблица

χ²_crit(df = 7, α = 0,01) = 18,475

Ответ

χ²_crit = 18,475

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology