Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Какой тест подходит для сравнения средних двух независимых групп с интервальными данными, распределёнными примерно нормально?

AКорреляция Пирсона
Bt-критерий для независимых выборок
CКритерий хи-квадрат
DКритерий знаковых рангов Уилкоксона

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь хочет проверить, приводит ли новый метод обучения к лучшим оценкам, но не может рандомизировать студентов. Какая схема в этой ситуации даёт наиболее сильные свидетельства причинности?

AСравнение подобранных классов, измеренных до и после, с группой сравнения
BКорреляция оценок с тем, насколько студентам нравится преподаватель
CОпрос студентов о том, считают ли они, что метод сработал
DИзмерение только класса, обучавшегося новым методом, после обучения

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 59, 14, 11, 51, 44, 23.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений меньше 94?

μ = 70σ = 12x = 94

P =

5.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 3 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 3

P =

6.ВероятностьСложная

В тесте 10 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,6, независимо. Какова вероятность P ровно 1 верных ответов?

n = 10p = 0,6k = 1

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (пассажиры с багажом) независимы и нормально распределены со средним 85 kg и стандартным отклонением 12 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 5 из них превышает 438,4 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5> 438,4 kg

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 97,5 % значений (97,5-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 97,5%

x = баллов

9.Доверительные интервалыСредняя

95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 100 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 2,7. Какой будет предельная ошибка E₂ 90 % интервала по тем же данным?

95%n₁ = 100E₁ = 2,790%

E₂ =

10.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 14 участков, средний урожай 63,5 kg, стандартное отклонение 2 kg. Группа участков 2: 12 участков, среднее 72,5 kg, стандартное отклонение 1,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 14x̄₁ = 63,5s₁ = 2n₂ = 12x̄₂ = 72,5s₂ = 1,590%t(24) = 1,711

нижняя граница = kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 100 деталей имеет среднюю длину 110 mm, известное стандартное отклонение линии 12 mm. Линия 2: выборка из 50 деталей имеет среднее 105,4 mm, известное стандартное отклонение 16 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 100x̄₁ = 110 mmσ₁ = 12 mmn₂ = 50x̄₂ = 105,4 mmσ₂ = 16 mm

z =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 3? Стандартное отклонение — 20. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 20E = 395%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 35?

n = 5ŷ = 35

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «село, низкий».

итог по строке = 98итог по столбцу = 82N = 163

E =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,01, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 1403 × 2α = 0,01

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · t-критерий для независимых выборок

Почему это ответ

t-критерий для независимых выборок сравнивает два групповых средних. Хи-квадрат — для частот; Уилкоксон — для связанных выборок с непараметрическими данными.

Ответ

B · t-критерий для независимых выборок

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Сравнение подобранных классов, измеренных до и после, с группой сравнения

Почему это ответ

Схема с неэквивалентными группами и измерениями до и после контролирует исходные различия и изменения во времени, хотя она слабее рандомизированного эксперимента.

Ответ

A · Сравнение подобранных классов, измеренных до и после, с группой сравнения

3.Описательная статистика

Ответ: s = 20,31

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 202/6 = 33,67

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 25,33² + (−19,67)² + (−22,67)² + 17,33² + 10,33² + (−10,67)² = 2063

Стандартное отклонение

s = √(2063/5) = 20,31

Ответ

s = 20,31

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = 2

Таблица нормального распределения

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

5.Вероятность

Ответ: P = 0,4213

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Ответ

P = 0,4213

6.Вероятность

Ответ: P = 0,001573

Формула Бернулли

P(X = 1) = 10·0,6¹·0,4⁹ = 10·0,6·0,0002621 = 0,001573

Ответ

P = 0,001573

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,3085

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 425 kg, σ_T = 12·√5 = 26,83 kg

Стандартизуйте

z = (438,4 − 425)/26,83 = 0,5

Вероятность

P = 1 − Φ(0,5) = 0,3085

Ответ

P = 0,3085

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 129,4 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Обратно к x

x = 100 + 1,96·15 = 129,4 баллов

Ответ

x = 129,4 баллов

9.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 2,266

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(100/100) = 0,8393

Новая предельная ошибка

E₂ = 2,7·0,8393 = 2,266

Ответ

E₂ = 2,266

10.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −10,2 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (13·2² + 11·1,5²)/24 = 3,198

s_p = 1,788

Предельная ошибка

E = 1,711·1,788·√(1/14 + 1/12) = 1,204

Интервал

−9 ± 1,204 → [−10,2, −7,796]

Ответ

нижняя граница = −10,2 kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 1,796

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(12²/100 + 16²/50) = √6,56 = 2,561

Статистика критерия

z = (110 − 105,4)/2,561 = 1,796

Ответ

z = 1,796

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 171

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Выразите n

n = (1,96·20/3)² = 170,7

Округлите вверх

n = 171

Ответ

n = 171

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9757

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 76/5 = 15,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 84

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 180,8

Коэффициент детерминации

r² = 84²/(40·180,8) = 0,9757

Ответ

r² = 0,9757

Прямая объясняет около 97,57% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 8,941

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 125/5 = 25

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 136

Линия регрессии

b = 136/40 = 3,4

a = 25 − 3,4·6 = 4,6

ŷ = 4,6 + 3,4·x

Найдите x

x = (35 − 4,6)/3,4 = 8,941

Ответ

x = 8,941

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 49,3

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 98·82/163 = 49,3

Ответ

E = 49,3

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 14,22

Ожидаемые частоты

возраст 18–30: 45, 15

возраст 31–50: 30, 10

возраст 51+: 30, 10

Статистика хи-квадрат

χ² = (53 − 45)²/45 + (7 − 15)²/15 + (30 − 30)²/30 + (10 − 10)²/10 + (22 − 30)²/30 + (18 − 10)²/10

χ² = 14,22

Решение

df = 2, χ²_crit = 9,210

14,22 > 9,210

Ответ

χ² = 14,22

χ² больше критического значения, поэтому H₀ отвергается: переменные, по-видимому, связаны.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology