Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Внутренняя валидность означает:

AРаспространяются ли выводы за пределы исследования на другие популяции, условия и время
BДействительно ли наблюдаемый эффект вызван НП, а не другими факторами
CДаёт ли тест одинаковые результаты со временем
DБыло ли участникам интересно исследование

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследование показывает, что опросник сильно коррелирует с признанным тестом того же конструкта. Это подтверждает:

AОчевидную (фасадную) валидность
BКонкурентную (текущую) валидность
CРетестовую надёжность
DЭкологическую валидность

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 14, 26, 31, 18, 14, 35, 29.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений больше 53,6?

μ = 60σ = 8x = 53,6

P =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,3, 0,35, 0,05

σ =

6.ВероятностьСложная

Испытывают 8 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,5. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 8p = 0,5

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,0179. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,0179

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 70% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов70%

x = баллов

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 10 элементов имеет среднее 49,5 и стандартное отклонение s = 5,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 10x̄ = 49,5s = 5,590%t(9) = 1,833

E =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 7. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 7E = 195%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 10 студентов, средний балл 40,5, стандартное отклонение 11. Группа 2: 7 студентов, средний балл 48,8, стандартное отклонение 6. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 10x̄₁ = 40,5s₁ = 11n₂ = 7x̄₂ = 48,8s₂ = 6

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 36 из 80 пациентов, получавших лечение A, и 59 из 100 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 36n₁ = 80x₂ = 59n₂ = 100

z =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (4, 36). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(4, 36)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «сотрудники, велосипед».

итог по строке = 75итог по столбцу = 45N = 146

E =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 9 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 9

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Действительно ли наблюдаемый эффект вызван НП, а не другими факторами

Почему это ответ

Высокая внутренняя валидность означает, что альтернативные объяснения, такие как конфаунды, требовательные характеристики или предвзятость экспериментатора, исключены. Внешняя валидность касается обобщения.

Ответ

B · Действительно ли наблюдаемый эффект вызван НП, а не другими факторами

2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Конкурентную (текущую) валидность

Почему это ответ

Конкурентная валидность показана, когда новая методика согласуется с признанной, проведённой примерно в то же время.

Ответ

B · Конкурентную (текущую) валидность

3.Описательная статистика

Ответ: s = 8,513

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 167/7 = 23,86

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−9,857)² + 2,143² + 7,143² + (−5,857)² + (−9,857)² + 11,14² + 5,143² = 434,9

Стандартное отклонение

s = √(434,9/6) = 8,513

Ответ

s = 8,513

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,7881

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблица нормального распределения

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

5.Вероятность

Ответ: σ = 9,097

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 10·0,3 + 20·0,3 + 30·0,35 + 40·0,05 = 21,5

Среднее квадратов

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,3 + 900·0,35 + 1600·0,05 = 545

Дисперсия

Var(X) = 545 − 21,5² = 82,75

σ = √82,75 = 9,097

Ответ

σ = 9,097

6.Вероятность

Ответ: P = 0,03516

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,5⁸ = 0,003906

P(X = 1) = 8·0,5·0,5⁷ = 0,03125

Сложите

P = 0,003906 + 0,03125 = 0,03516

Ответ

P = 0,03516

7.Нормальное распределение

Ответ: z = 2,1

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,0179 = 0,9821

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9821 внутри таблицы и считайте z.

z = 2,10

Ответ

z = 2,10

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 70,2 баллов

Площадь слева

Φ(z) = 0,7

z из таблицы

z ≈ 0,52

Возврат к исходным единицам

x = 65 + 0,52·10 = 70,2 баллов

Ответ

x = 70,2 баллов

9.Доверительные интервалы

Ответ: E = 3,188

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 9, t = 1,833

Предельная ошибка

E = 1,833·5,5/√10 = 3,188

Ответ

E = 3,188

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 189

Выразите n

n = (1,96·7/1)² = 188,2

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 189

Ответ

n = 189

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,806

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (9·11² + 6·6²)/15 = 87

s_p = 9,327

Стандартная ошибка

SE = 9,327·√(1/10 + 1/7) = 4,597

Статистика критерия

t = (40,5 − 48,8)/4,597 = −1,806

Ответ

t = −1,806

При df = 15 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,131; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,87

Выборочные доли

p̂₁ = 36/80 = 0,45

p̂₂ = 59/100 = 0,59

p̂ = 95/180 = 0,5278

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,5278·0,4722·(1/80 + 1/100)) = 0,07488

Статистика критерия

z = (0,45 − 0,59)/0,07488 = −1,87

Ответ

z = −1,87

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,8953

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 134/6 = 22,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −31

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 61,33

Коэффициент детерминации

r² = −31²/(17,5·61,33) = 0,8953

Ответ

r² = 0,8953

Прямая объясняет около 89,53% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −4,352

Средние

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 274/6 = 45,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 186

Линия регрессии

b = 186/70 = 2,657

a = 45,67 − 2,657·6 = 29,72

ŷ = 29,72 + 2,657·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 29,72 + 2,657·4 = 40,35

Остаток

e = 36 − 40,35 = −4,352

Ответ

e = −4,352

Точка лежит ниже прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 23,12

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 75·45/146 = 23,12

Ответ

E = 23,12

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 8

Степени свободы

df = 9 − 1 = 8

Ответ

df = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology