Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Чтобы получить выборку с теми же пропорциями студентов первого, второго и третьего курсов, что и в университете, исследователь должен использовать:

AВыборку методом «снежного кома»
BСтратифицированную выборку
CВыборку добровольцев
DДоступную выборку

2.Методы исследования в психологииСложная

Два наблюдателя регистрируют агрессивные действия на игровой площадке, и их подсчёты коррелируют на уровне r = 0,45. Что должен сделать исследователь?

AПерейти к односторонней гипотезе
BПринять данные, потому что достаточно любой положительной корреляции
CУточнить категории поведения и обучить наблюдателей, затем снова проверить согласованность
DИспользовать только больший из двух подсчётов

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 22, 41, 60, 58, 14.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений больше 52,5?

μ = 60σ = 15x = 52,5

P =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,25, 0,2, 0,3

σ =

6.ВероятностьСложная

В тесте 9 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,7, независимо. Какова вероятность P ровно 3 верных ответов?

n = 9p = 0,7k = 3

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 164 и 186,75 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 178σ = 7x₁ = 164x₂ = 186,75

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 10 % значений (10-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 10%

x = баллов

9.Доверительные интервалыСредняя

90 % доверительный интервал для среднего, построенный по 36 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 2,4. Какой будет предельная ошибка E₂, если в том же исследовании использовать 9 наблюдений?

90%n₁ = 36E₁ = 2,4n₂ = 9

E₂ =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 28. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 28E = 199%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 80 деталей имеет среднюю длину 88 mm, известное стандартное отклонение линии 11 mm. Линия 2: выборка из 80 деталей имеет среднее 85,4 mm, известное стандартное отклонение 11 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 80x̄₁ = 88 mmσ₁ = 11 mmn₂ = 80x̄₂ = 85,4 mmσ₂ = 11 mm

z =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 80 из 200 пациентов, получавших лечение A, и 33 из 100 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 80n₁ = 200x₂ = 33n₂ = 100

z =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 18?

n = 5ŷ = 18

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1002 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,01, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2203 × 2α = 0,01

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Стратифицированную выборку

Почему это ответ

Стратифицированная выборка выделяет подгруппы (страты) и случайно отбирает участников из каждой пропорционально её доле в популяции, что делает выборку более репрезентативной.

Ответ

B · Стратифицированную выборку

2.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Уточнить категории поведения и обучить наблюдателей, затем снова проверить согласованность

Почему это ответ

Низкая надёжность между наблюдателями означает, что категории применяются непоследовательно. Более чёткие операциональные определения и тренировочные сеансы должны повысить согласованность до основного сбора данных.

Ответ

C · Уточнить категории поведения и обучить наблюдателей, затем снова проверить согласованность

3.Описательная статистика

Ответ: s = 20,74

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 195/5 = 39

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−17)² + 2² + 21² + 19² + (−25)² = 1720

Стандартное отклонение

s = √(1720/4) = 20,74

Ответ

s = 20,74

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,6915

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблица нормального распределения

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Ответ

P = 0,6915

5.Вероятность

Ответ: σ = 2,322

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,25 + 2·0,25 + 4·0,2 + 6·0,3 = 3,1

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,25 + 4·0,25 + 16·0,2 + 36·0,3 = 15

Дисперсия

Var(X) = 15 − 3,1² = 5,39

σ = √5,39 = 2,322

Ответ

σ = 2,322

6.Вероятность

Ответ: P = 0,021

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 3) = 84·0,7³·0,3⁶ = 84·0,343·0,000729 = 0,021

Ответ

P = 0,021

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8716

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (164 − 178)/7 = −2

z₂ = (186,75 − 178)/7 = 1,25

Площадь между

P = Φ(1,25) − Φ(−2) = 0,8944 − 0,02275 = 0,8716

Ответ

P = 0,8716

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 80,78 баллов

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Обратно к x

x = 100 + −1,282·15 = 80,78 баллов

Ответ

x = 80,78 баллов

9.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 4,8

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(36/9) = 2

Новая предельная ошибка

E₂ = 2,4·2 = 4,8

Ответ

E₂ = 4,8

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 5203

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·28/1)² = 5202

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 5203

Ответ

n = 5203

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 1,495

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(11²/80 + 11²/80) = √3,025 = 1,739

Статистика критерия

z = (88 − 85,4)/1,739 = 1,495

Ответ

z = 1,495

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 1,18

Выборочные доли

p̂₁ = 80/200 = 0,4

p̂₂ = 33/100 = 0,33

p̂ = 113/300 = 0,3767

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,3767·0,6233·(1/200 + 1/100)) = 0,05935

Статистика критерия

z = (0,4 − 0,33)/0,05935 = 1,18

Ответ

z = 1,18

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9398

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 49/5 = 9,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 44

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 54,8

Коэффициент корреляции

r = 44/√(40·54,8) = 0,9398

Ответ

r = 0,9398

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 4,3

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 103/5 = 20,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −20

Линия регрессии

b = −20/10 = −2

a = 20,6 − (−2)·3 = 26,6

ŷ = 26,6 − 2·x

Найдите x

x = (18 − 26,6)/(−2) = 4,3

Ответ

x = 4,3

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 5,291

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

город: 40·20/100 = 8, 40·45/100 = 18, 40·35/100 = 14

село: 60·20/100 = 12, 60·45/100 = 27, 60·35/100 = 21

Статистика хи-квадрат

χ² = (8 − 8)²/8 + (23 − 18)²/18 + (9 − 14)²/14 + (12 − 12)²/12 + (22 − 27)²/27 + (26 − 21)²/21

χ² = 5,291

Ответ

χ² = 5,291

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 0,8854

Ожидаемые частоты

возраст 18–30: 32, 48

возраст 31–50: 32, 48

возраст 51+: 24, 36

Статистика хи-квадрат

χ² = (30 − 32)²/32 + (50 − 48)²/48 + (31 − 32)²/32 + (49 − 48)²/48 + (27 − 24)²/24 + (33 − 36)²/36

χ² = 0,8854

Решение

df = 2, χ²_crit = 9,210

0,8854 < 9,210

Ответ

χ² = 0,8854

χ² меньше критического значения, поэтому H₀ не отвергается: значимых свидетельств связи нет.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology