Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Исследователь изучает влияние пола на результаты теста памяти. Почему это квазиэксперимент, а не истинный эксперимент?

AИсследование проводится в лаборатории
BНП — заранее существующая характеристика, поэтому участников нельзя случайно распределить по её уровням
CУсловий всего два, а настоящему эксперименту нужно не менее трёх уровней НП
DЗП не измеряется

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь измеряет влияние шума на концентрацию. Участников в условии с шумом случайно тестировали утром, а в условии тишины — днём. В чём проблема?

AВ исследовании слишком много условий
BВремя суток — зависимая переменная
CВремя суток — смешивающая переменная
DДанные номинальные

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 60, 59, 41, 44, 47, 19.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 40. Какая доля P значений больше 524?

μ = 500σ = 40x = 524

P =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,35, 0,1, 0,25

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

Испытывают 9 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,7. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 9p = 0,7

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,9846. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9846

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).

μ = 65σ = 10P = 99%

x = баллов

9.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 100 телефонов, среднее 51,5 h, известное стандартное отклонение 11 h. Модель 2: 100 телефонов, среднее 57,5 h, известное стандартное отклонение 10 h. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 51,5 hσ₁ = 11 hn₂ = 100x̄₂ = 57,5 hσ₂ = 10 h90%

нижняя граница = h

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 20. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?

σ = 20E = 0,590%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 197,3 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 197,3s = 10n = 64

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 49 измерений имеет среднее 200,9. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 10. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 200,9σ = 10n = 4999%

U =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 126Σy = 327Σx² = 2716Σy² = 19087Σxy = 7162

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 16?

n = 5ŷ = 16

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 6 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 6

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · НП — заранее существующая характеристика, поэтому участников нельзя случайно распределить по её уровням

Почему это ответ

В квазиэксперименте НП — естественно существующее различие между людьми. Без случайного распределения другие различия между группами могут смешиваться с результатами.

Ответ

B · НП — заранее существующая характеристика, поэтому участников нельзя случайно распределить по её уровням

2.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Время суток — смешивающая переменная

Почему это ответ

Поскольку шум и время тестирования меняются вместе, любое различие может быть вызвано любым из них. Случайное распределение времени тестирования или его фиксация устранили бы конфаунд.

Ответ

C · Время суток — смешивающая переменная

3.Описательная статистика

Ответ: s = 14,95

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 270/6 = 45

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 15² + 14² + (−4)² + (−1)² + 2² + (−26)² = 1118

Стандартное отклонение

s = √(1118/5) = 14,95

Ответ

s = 14,95

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,2743

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблица нормального распределения

Φ(0,6) = 0,7257

P = 1 − 0,7257 = 0,2743

Ответ

P = 0,2743

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 5,24

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,3 + 2·0,35 + 4·0,1 + 6·0,25 = 2,6

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,35 + 16·0,1 + 36·0,25 = 12

Дисперсия

Var(X) = 12 − 2,6² = 5,24

Ответ

Var(X) = 5,24

6.Вероятность

Ответ: P = 0,000433

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,3⁹ = 1,968 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 9·0,7·0,3⁸ = 0,0004133

Сложите

P = 1,968 × 10⁻⁵ + 0,0004133 = 0,000433

Ответ

P = 0,000433

7.Нормальное распределение

Ответ: z = −2,16

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,9846 = 0,0154

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,0154 внутри таблицы и считайте z.

z = −2,16

Ответ

z = −2,16

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 88,26 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Обратно к x

x = 65 + 2,326·10 = 88,26 баллов

Ответ

x = 88,26 баллов

9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −8,445 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 51,5 − 57,5 = −6

Стандартная ошибка

SE = √(11²/100 + 10²/100) = 1,487

Предельная ошибка

E = 1,645·1,487 = 2,445

Интервал

−6 ± 2,445 → [−8,445, −3,555]

Ответ

нижняя граница = −8,445 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 4330

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,645·20/0,5)² = 4330

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 4330

Ответ

n = 4330

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,16

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25

Статистика критерия

t = (197,3 − 200)/1,25 = −2,16

Ответ

t = −2,16

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 204,6

Предельная ошибка

E = 2,576·10/√49 = 3,68

Граница интервала

U = 200,9 + 3,68 = 204,6

Ответ

U = 204,6

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9912

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 7162 − 126·327/6 = 295

S_xx = 2716 − 126²/6 = 70

S_yy = 19087 − 327²/6 = 1266

Коэффициент корреляции

r = 295/√(70·1266) = 0,9912

Ответ

r = 0,9912

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 3,667

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 89/5 = 17,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

Линия регрессии

b = −27/10 = −2,7

a = 17,8 − (−2,7)·3 = 25,9

ŷ = 25,9 − 2,7·x

Найдите x

x = (16 − 25,9)/(−2,7) = 3,667

Ответ

x = 3,667

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 8,107

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

студенты: 100·80/160 = 50, 100·40/160 = 25, 100·40/160 = 25

сотрудники: 60·80/160 = 30, 60·40/160 = 15, 60·40/160 = 15

Статистика хи-квадрат

χ² = (52 − 50)²/50 + (30 − 25)²/25 + (18 − 25)²/25 + (28 − 30)²/30 + (10 − 15)²/15 + (22 − 15)²/15

χ² = 8,107

Ответ

χ² = 8,107

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 5

Степени свободы

df = 6 − 1 = 5

Ответ

df = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology