Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие
P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

95% доверительный интервал для среднего 50 составляет от 46 до 54. Какова наиболее точная интерпретация?

  1. AРезультат незначим
  2. B95% отдельных участников выборки набрали по этой мере от 46 до 54 баллов
  3. CС вероятностью 95% выборочное среднее равно 50
  4. DИспользованная процедура даёт интервалы, содержащие истинное среднее, в 95% случаев
2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь использует опросник, интервью и наблюдение для изучения стресса на работе, и результаты совпадают. Как называется такой подход?

  1. AТриангуляция
  2. BСтратификация
  3. CРепликация
  4. DКонтрбалансировка
3.Описательная статистикаСредняя
4244464850525456

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 49, 48, 41, 57, 41.

n = 5
s =
4.Описательная статистикаСложная
z −2−1012

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 20. Найдите z-оценку z для результата 154.

μ = 170σ = 20x = 154
z =
5.ВероятностьСредняя
красные: 4синие: 8

В мешочке 4 красных и 8 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

4 / 8
P =
6.ВероятностьСложная
n = 9, p = 0,25: P(X ≤ 1) = ?k0123456789

Испытывают 9 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,25. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 9p = 0,25
P =
7.Нормальное распределениеСредняя
−3−2−10123zзакрашенная площадь между −z и z = 0,3759

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,3759. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,3759
z =
8.Нормальное распределениеСложная
μ = 100x = ?99%

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 99%
x = баллов
9.Доверительные интервалыСредняя
n = 9, s = 19LUx̄ = 63E = ?90%

Выборка из 9 элементов имеет среднее 63 и стандартное отклонение s = 19. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 9x̄ = 63s = 1990%t(8) = 1,86
E =
10.Доверительные интервалыСложная
σ = 37, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 399%

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 37. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 3?

σ = 37E = 399%
n =
11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
−2,1792,179t = ?df = 12

13 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 2,3, стандартное отклонение разностей — 3,6. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.

n = 13d̄ = 2,3sd = 3,6
t =
12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
z −1,9601,96

Выборка из 81 измерений имеет среднее 74,8. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 15. Найдите нижнюю границу L 95 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 74,8σ = 15n = 8195%
L =
13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy24466108121016xy51051015

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5
r =
14.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy183421462450277130693384xy202530406080ŷ = 69

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 69?

n = 6ŷ = 69
x =
15.Критерии хи-квадратСредняя
улучшениебез улучшенияИтогоновый препарат4159100плацебо13940Итого4298140

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1402 × 2
χ² =
16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 4 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 4
df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Использованная процедура даёт интервалы, содержащие истинное среднее, в 95% случаев

Почему это ответ

95% ДИ даёт диапазон правдоподобных значений параметра популяции. Более узкие интервалы, получаемые на больших выборках, означают более точные оценки.

Ответ

D · Использованная процедура даёт интервалы, содержащие истинное среднее, в 95% случаев
2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Триангуляция

Почему это ответ

Триангуляция использует несколько методов, источников или исследователей. Согласие между ними повышает уверенность в валидности результатов.

Ответ

A · Триангуляция
3.Описательная статистика

Ответ: s = 6,648

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 236/5 = 47,2

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 1,8² + 0,8² + (−6,2)² + 9,8² + (−6,2)² = 176,8

Стандартное отклонение

s = √(176,8/4) = 6,648

Ответ

s = 6,648
4.Описательная статистика

Ответ: z = −0,8

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Стандартизуйте

z = (154 − 170)/20 = −0,8

Ответ

z = −0,8
5.Вероятность

Ответ: P = 0,09091

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 4/12 · 3/11 = 12/132 = 0,09091

Ответ

P = 0,09091
6.Вероятность

Ответ: P = 0,3003

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,759 = 0,07508
P(X = 1) = 9·0,25·0,758 = 0,2253

Сложите

P = 0,07508 + 0,2253 = 0,3003

Ответ

P = 0,3003
7.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,49

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,3759)/2 = 0,6879

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,6879 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,49

Ответ

z = 0,49
8.Нормальное распределение

Ответ: x = 134,9 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Обратно к x

x = 100 + 2,326·15 = 134,89 баллов

Ответ

x = 134,89 баллов
9.Доверительные интервалы

Ответ: E = 11,78

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Предельная ошибка

E = 1,86·19/√9 = 11,78

Ответ

E = 11,78
10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1010

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·37/3)² = 1009

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 1010

Ответ

n = 1010
11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,304

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 3,6/√13 = 0,9985

Статистика критерия

t = 2,3/0,9985 = 2,304

Ответ

t = 2,304

При df = 12 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,179; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 71,53

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,96·15/√81 = 3,267

Граница интервала

L = 74,8 − 3,267 = 71,53

Ответ

L = 71,53
13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9934

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 48/5 = 9,6

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 60
Syy = Σ(y − ȳ)² = 91,2

Коэффициент корреляции

r = 60/√(40·91,2) = 0,9934

Ответ

r = 0,9934
14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 28,59

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 153/6 = 25,5
ȳ = 354/6 = 59

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 510

Линия регрессии

b = 510/157,5 = 3,238
a = 59 − 3,238·25,5 = −23,57
ŷ = −23,57 + 3,238·x

Найдите x

x = (69 − (−23,57))/3,238 = 28,59

Ответ

x = 28,59
15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 20,17

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

новый препарат: 100·42/140 = 30, 100·98/140 = 70
плацебо: 40·42/140 = 12, 40·98/140 = 28

Статистика хи-квадрат

χ² = (41 − 30)²/30 + (59 − 70)²/70 + (1 − 12)²/12 + (39 − 28)²/28
χ² = 20,17

Ответ

χ² = 20,17

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 3

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Степени свободы

df = 4 − 1 = 3

Ответ

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology