Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Исследователь рассылает опросник всем студентам, а затем просит респондентов привлечь друзей, которые тоже пользуются редким приложением для сна. Какой метод формирования выборки используется на втором шаге?

AСтратифицированная выборка
BСлучайная выборка
CВыборка методом «снежного кома»
DСистематическая выборка

2.Методы исследования в психологииСложная

Какой непараметрический тест сравнивает две связанные выборки, например баллы «до» и «после» по порядковой шкале?

AКритерий хи-квадрат на независимость
BU-критерий Манна — Уитни
CКритерий знаковых рангов Уилкоксона
Dt-критерий для независимых выборок

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 32, 42, 41, 32, 25, 25, 20.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений меньше 110?

μ = 100σ = 5x = 110

P =

5.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 5 человек из группы из 11 человек? Порядок не важен.

n = 11k = 5

N =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 5X + 1. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,2, 0,1, 0,35, 0,35Y = 5X + 1

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (коробки) независимы и нормально распределены со средним 12 kg и стандартным отклонением 0,8 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 4 из них меньше 48,8 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 4< 48.8 kg

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 80 % значений (80-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 80%

x = min

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 12 элементов имеет среднее 57,5 и стандартное отклонение s = 17. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 12x̄ = 57,5s = 1799%t(11) = 3,106

нижняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 12. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?

σ = 12E = 0,599%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 6 студентов, средний балл 114, стандартное отклонение 2. Группа 2: 8 студентов, средний балл 105,8, стандартное отклонение 6. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 6x̄₁ = 114s₁ = 2n₂ = 8x̄₂ = 105,8s₂ = 6

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 2,5? Стандартное отклонение — 10. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 10E = 2,595%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 82?

n = 5ŷ = 82

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 2002 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 7 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Выборка методом «снежного кома»

Почему это ответ

Метод «снежного кома» полезен для труднодоступных групп, но участники такой выборки, вероятно, схожи между собой, и она нерепрезентативна.

Ответ

C · Выборка методом «снежного кома»

2.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Критерий знаковых рангов Уилкоксона

Почему это ответ

Критерий Уилкоксона предназначен для парных порядковых данных; U-критерий Манна — Уитни — его аналог для независимых групп.

Ответ

C · Критерий знаковых рангов Уилкоксона

3.Описательная статистика

Ответ: s = 8,327

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 217/7 = 31

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 1² + 11² + 10² + 1² + (−6)² + (−6)² + (−11)² = 416

Стандартное отклонение

s = √(416/6) = 8,327

Ответ

s = 8,327

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9772

Стандартизуйте

z = 2

Таблица нормального распределения

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Ответ

P = 0,9772

5.Вероятность

Ответ: N = 462

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(11, 5) = (11·10·9·8·7)/(5·4·3·2·1) = 462

Ответ

N = 462

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 55,4

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 28,5, Var(X) = 122,8, σ_X = 11,08

Линейное преобразование

σ_Y = |5|·11,08 = 55,4

Ответ

σ_Y = 55,4

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·28,5 + 1 = 143,5.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6915

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 48 kg, σ_T = 0,8·√4 = 1,6 kg

Стандартизуйте

z = (48,8 − 48)/1,6 = 0,5

Вероятность

P = Φ(0,5) = 0,6915

Ответ

P = 0,6915

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 37,05 min

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

Обратно к x

x = 32 + 0,8416·6 = 37,05 min

Ответ

x = 37,05 min

9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 42,26

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Предельная ошибка

E = 3,106·17/√12 = 15,24

Интервал

57,5 ± 15,24 → [42,26, 72,74]

Ответ

нижняя граница = 42,26

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 3823

Выразите n

n = (2,576·12/0,5)² = 3822

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 3823

Ответ

n = 3823

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 3,189

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (5·2² + 7·6²)/12 = 22,67

s_p = 4,761

Стандартная ошибка

SE = 4,761·√(1/6 + 1/8) = 2,571

Статистика критерия

t = (114 − 105,8)/2,571 = 3,189

Ответ

t = 3,189

При df = 12 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,179; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 62

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Выразите n

n = (1,96·10/2,5)² = 61,47

Округлите вверх

n = 62

Ответ

n = 62

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,8801

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 118/6 = 19,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 47,33

Коэффициент детерминации

r² = −27²/(17,5·47,33) = 0,8801

Ответ

r² = 0,8801

Прямая объясняет около 88,01% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 8,92

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 337/5 = 67,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 200

Линия регрессии

b = 200/40 = 5

a = 67,4 − 5·6 = 37,4

ŷ = 37,4 + 5·x

Найдите x

x = (82 − 37,4)/5 = 8,92

Ответ

x = 8,92

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 10,63

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

город: 100·30/200 = 15, 100·80/200 = 40, 100·90/200 = 45

село: 100·30/200 = 15, 100·80/200 = 40, 100·90/200 = 45

Статистика хи-квадрат

χ² = (16 − 15)²/15 + (29 − 40)²/40 + (55 − 45)²/45 + (14 − 15)²/15 + (51 − 40)²/40 + (35 − 45)²/45

χ² = 10,63

Ответ

χ² = 10,63

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 12,59

Степени свободы

df = 7 − 1 = 6

Таблица

χ²_crit(df = 6, α = 0,05) = 12,592

Ответ

χ²_crit = 12,592

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology