Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
Критерии хи-квадрат
- Статистика критерия
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Согласие с распределением
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Независимость
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Критические значения (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Решение
- отвергнуть H0, если χ² > χ²crit
2Тренировочные задачи
1.Методы исследования в психологииСредняя
Поперечное исследование одновременно сравнивает использование технологий у 20-, 40- и 60-летних. Какая проблема может исказить сравнение по возрасту?
- AЭффекты тренировки
- BЭффекты нижней границы
- CЭффекты порядка
- DКогортные эффекты
2.Методы исследования в психологииСложная
В тематическом анализе аналитик в основном:
- AПроверяет числовую гипотезу
- BВыявляет повторяющиеся смысловые паттерны в качественных данных
- CВычисляет средний балл каждой темы, чтобы статистически сравнить их
- DТолько подсчитывает частоту слов
3.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 36, 46, 31, 53, 29, 49, 38.
n = 7
s =
4.Описательная статистикаСложная
Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 154.
μ = 170σ = 8x = 154
z =
5.ВероятностьСредняя
Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.
x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,25, 0,3, 0,3
Var(X) =
6.ВероятностьСложная
Испытывают 8 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,7. Какова вероятность P, что откажет не более одного?
n = 8p = 0,7
P =
7.Нормальное распределениеСредняя
Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 454 и 550 h? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 500σ = 40x1 = 454x2 = 550
P =
8.Нормальное распределениеСложная
Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 80% были слева от неё. Найдите границу x.
μ = 100 балловσ = 15 баллов80%
x = баллов
9.Доверительные интервалыСредняя
Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 50 телефонов, среднее 58 h, известное стандартное отклонение 9 h. Модель 2: 80 телефонов, среднее 52 h, известное стандартное отклонение 9 h. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.
n₁ = 50x̄₁ = 58 hσ₁ = 9 hn₂ = 80x̄₂ = 52 hσ₂ = 9 h90%
E = h
10.Доверительные интервалыСложная
Диаметры 16 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 10,3 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — нижняя граница σ. При df = 15 2,5 % распределения χ² лежит ниже 6,262 и 2,5 % — выше 27,488.
n = 16s = 10,3 µmχ² = 6,262, 27,488
σ = µm
11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
Выборка из 49 студентов имеет средний балл 194,4 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 194,4s = 15n = 49
t =
12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 81 измерений имеет среднее 97,2. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 12. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 97,2σ = 12n = 8199%
L =
13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.
n = 6
r =
14.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 17.
n = 5x = 17
ŷ =
15.Критерии хи-квадратСредняя
Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.
N = 2202 × 3
χ² =
16.Критерии хи-квадратСложная
В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,01, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.
N = 2203 × 2α = 0,01
χ² =
3Растворы
1.Методы исследования в психологии
Ответ: D · Когортные эффекты
Почему это ответ
Разные возрастные группы росли в разных исторических условиях, поэтому различия могут отражать поколение (когорту), а не само старение.
Ответ
D · Когортные эффекты
2.Методы исследования в психологии
Ответ: B · Выявляет повторяющиеся смысловые паттерны в качественных данных
Почему это ответ
Тематический анализ включает знакомство с данными, кодирование, формирование, пересмотр и наименование тем и написание отчёта; в центре — смысл, а не статистика.
Ответ
B · Выявляет повторяющиеся смысловые паттерны в качественных данных
3.Описательная статистика
Ответ: s = 9,196
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 282/7 = 40,29
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = (−4,286)² + 5,714² + (−9,286)² + 12,71² + (−11,29)² + 8,714² + (−2,286)² = 507,4
Стандартное отклонение
s = √(507,4/6) = 9,196
Ответ
s = 9,196
4.Описательная статистика
Ответ: z = −2
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = (154 − 170)/8 = −2
Ответ
z = −2
5.Вероятность
Ответ: Var(X) = 108,8
Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.
Среднее
μ = 10·0,15 + 20·0,25 + 30·0,3 + 40·0,3 = 27,5
Среднее квадратов
E(X²) = 100·0,15 + 400·0,25 + 900·0,3 + 1600·0,3 = 865
Дисперсия
Var(X) = 865 − 27,5² = 108,8
Ответ
Var(X) = 108,8
6.Вероятность
Ответ: P = 0,00129
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Ноль и один отказ
P(X = 0) = 0,38 = 6,561 × 10⁻⁵
P(X = 1) = 8·0,7·0,37 = 0,001225
Сложите
P = 6,561 × 10⁻⁵ + 0,001225 = 0,00129
Ответ
P = 0,00129
7.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,7693
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (454 − 500)/40 = −1,15
z₂ = (550 − 500)/40 = 1,25
Площадь между
P = Φ(1,25) − Φ(−1,15) = 0,8944 − 0,1251 = 0,7693
Ответ
P = 0,7693
8.Нормальное распределение
Ответ: x = 112,6 баллов
От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.
Площадь слева
Φ(z) = 0,8
z из таблицы
z ≈ 0,84
Возврат к исходным единицам
x = 100 + 0,84·15 = 112,6 баллов
Ответ
x = 112,6 баллов
9.Доверительные интервалы
Ответ: E = 2,669 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Точечная оценка
x̄₁ − x̄₂ = 58 − 52 = 6
Стандартная ошибка
SE = √(9²/50 + 9²/80) = 1,622
Предельная ошибка
E = 1,645·1,622 = 2,669
Ответ
E = 2,669 h
Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.
10.Доверительные интервалы
Ответ: σ = 7,609 µm
Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.
Сумма квадратов
(n − 1)s² = 15·10,3² = 1591
Границы для σ²
1591/27,488 = 57,89
1591/6,262 = 254,1
Граница для σ
σ = √57,89 = 7,609 µm
Ответ
σ = 7,609 µm
95 % интервал для σ: [7,609, 15,94] µm.
11.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = −2,613
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Стандартная ошибка
SE = 15/√49 = 15/7 = 2,143
Статистика критерия
t = (194,4 − 200)/2,143 = −2,613
Ответ
t = −2,613
t0,025; df = 48 = 2,011
|t| > 2,011, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).
12.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: L = 93,77
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 2,576·12/√81 = 3,435
Граница интервала
L = 97,2 − 3,435 = 93,77
Ответ
L = 93,77
13.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r = −0,9897
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 124/6 = 20,67
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40
Syy = Σ(y − ȳ)² = 93,33
Коэффициент корреляции
r = −40/√(17,5·93,33) = −0,9897
Ответ
r = −0,9897
14.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: ŷ = 65,85
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 402/5 = 80,4
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 194
Линия регрессии
b = 194/40 = 4,85
a = 80,4 − 4,85·20 = −16,6
ŷ = −16,6 + 4,85·x
Прогноз
ŷ = −16,6 + 4,85·17 = 65,85
Ответ
ŷ = 65,85
15.Критерии хи-квадрат
Ответ: χ² = 13,41
Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.
Ожидаемые частоты
город: 100·33/220 = 15, 100·88/220 = 40, 100·99/220 = 45
село: 120·33/220 = 18, 120·88/220 = 48, 120·99/220 = 54
Статистика хи-квадрат
χ² = (20 − 15)²/15 + (27 − 40)²/40 + (53 − 45)²/45 + (13 − 18)²/18 + (61 − 48)²/48 + (46 − 54)²/54
χ² = 13,41
Ответ
χ² = 13,41
df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.
16.Критерии хи-квадрат
Ответ: χ² = 0,4048
Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.
Ожидаемые частоты
возраст 18–30: 30, 70
возраст 31–50: 24, 56
возраст 51+: 12, 28
Статистика хи-квадрат
χ² = (31 − 30)²/30 + (69 − 70)²/70 + (22 − 24)²/24 + (58 − 56)²/56 + (13 − 12)²/12 + (27 − 28)²/28
χ² = 0,4048
Решение
df = 2, χ²crit = 9,210
0,4048 < 9,210
Ответ
χ² = 0,4048
χ² меньше критического значения, поэтому H₀ не отвергается: значимых свидетельств связи нет.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology