Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Исследование прошло предварительную регистрацию (preregistration). Это означает, что:

AРезультаты проверены и одобрены вторым независимым статистиком до публикации
BГипотезы, методы и план анализа публично зафиксированы до сбора данных
CИсследование уже опубликовано
DУчастники регистрируют своё согласие онлайн

2.Методы исследования в психологииСложная

В исследованиях подчинения Милгрэма участники считали, что наносят настоящие удары током. Какая этическая проблема возникает наиболее непосредственно и как её частично решали?

AУчастие детей; решалась согласием родителей
BОтсутствие контрольной группы; решалась случайным распределением участников по условиям
CОтсутствие конфиденциальности; решалась публикацией имён
DОбман и возможный дистресс; решалась тщательным дебрифингом

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 49, 10, 55, 44, 30, 38.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 12. Найдите z-оценку z для результата 55,6.

μ = 70σ = 12x = 55,6

z =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,3, 0,1, 0,3

σ =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 3X + 20. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,35, 0,2, 0,2, 0,25Y = 3X + 20

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 12 из них меньше 484,2 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 12< 484.2 g

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Рост мужчин X и женщин Y в группе независимы и нормально распределены: X имеет среднее 180 cm и стандартное отклонение 10 cm, Y имеет среднее 170 cm и стандартное отклонение 12 cm. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

9.Доверительные интервалыСредняя

У 15 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 3,7 и стандартное отклонение 3,6. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для средней разности.

n = 15d̄ = 3,7s_d = 3,695%t(14) = 2,145

верхняя граница = mmHg

10.Доверительные интервалыСложная

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 99 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,04?

p = 0,5E = 0,0499%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 47,9 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 47,9s = 12n = 64

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 100 измерений имеет среднее 77,3. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 15. Найдите верхнюю границу U 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 77,3σ = 15n = 10090%

U =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 147Σy = 850Σx² = 3759Σy² = 125466Σxy = 21710

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 19?

n = 6ŷ = 19

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1402 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 9 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Гипотезы, методы и план анализа публично зафиксированы до сбора данных

Почему это ответ

Предварительная регистрация разделяет подтверждающие и разведочные анализы и уменьшает такие практики, как p-hacking и HARKing.

Ответ

B · Гипотезы, методы и план анализа публично зафиксированы до сбора данных

2.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Обман и возможный дистресс; решалась тщательным дебрифингом

Почему это ответ

Участников обманывали относительно ударов, и многие испытывали сильный стресс. Милгрэм проводил дебрифинг и знакомил участников с «учеником»; последующий опрос показал, что большинство были рады участию, но этичность исследований по-прежнему обсуждается.

Ответ

D · Обман и возможный дистресс; решалась тщательным дебрифингом

3.Описательная статистика

Ответ: s = 16,08

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 226/6 = 37,67

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 11,33² + (−27,67)² + 17,33² + 6,333² + (−7,667)² + 0,3333² = 1293

Стандартное отклонение

s = √(1293/5) = 16,08

Ответ

s = 16,08

4.Описательная статистика

Ответ: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (55,6 − 70)/12 = −1,2

Ответ

z = −1,2

5.Вероятность

Ответ: σ = 2,4

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,3 + 2·0,3 + 4·0,1 + 6·0,3 = 2,8

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,3 + 16·0,1 + 36·0,3 = 13,6

Дисперсия

Var(X) = 13,6 − 2,8² = 5,76

σ = √5,76 = 2,4

Ответ

σ = 2,4

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 35,84

Разброс X

μ = 23,5, Var(X) = 142,8, σ_X = 11,95

Линейное преобразование

σ_Y = |3|·11,95 = 35,84

Ответ

σ_Y = 35,84

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 3·23,5 + 20 = 90,5.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8438

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 480 g, σ_T = 1,2·√12 = 4,157 g

Стандартизуйте

z = (484,2 − 480)/4,157 = 1,01

Вероятность

P = Φ(1,01) = 0,8438

Ответ

P = 0,8438

8.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7389

Распределение разности

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Ответ

P = 0,7389

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 5,694 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 14, t = 2,145

Предельная ошибка

E = 2,145·3,6/√15 = 1,994

Интервал

3,7 ± 1,994 → [1,706, 5,694]

Ответ

верхняя граница = 5,694 mmHg

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1037

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,04² = 1037

Округлите вверх

n = 1037

Ответ

n = 1037

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,4

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 12/√64 = 12/8 = 1,5

Статистика критерия

t = (47,9 − 50)/1,5 = −1,4

Ответ

t = −1,4

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 79,77

Предельная ошибка

E = 1,645·15/√100 = 2,468

Граница интервала

U = 77,3 + 2,468 = 79,77

Ответ

U = 79,77

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9924

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 21710 − 147·850/6 = 885

S_xx = 3759 − 147²/6 = 157,5

S_yy = 125466 − 850²/6 = 5049

Коэффициент корреляции

r = 885/√(157,5·5049) = 0,9924

Ответ

r = 0,9924

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 7,486

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 106/6 = 17,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 192

Линия регрессии

b = 192/70 = 2,743

a = 17,67 − 2,743·7 = −1,533

ŷ = −1,533 + 2,743·x

Найдите x

x = (19 − (−1,533))/2,743 = 7,486

Ответ

x = 7,486

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 2,033

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

город: 60·35/140 = 15, 60·49/140 = 21, 60·56/140 = 24

село: 80·35/140 = 20, 80·49/140 = 28, 80·56/140 = 32

Статистика хи-квадрат

χ² = (16 − 15)²/15 + (24 − 21)²/21 + (20 − 24)²/24 + (19 − 20)²/20 + (25 − 28)²/28 + (36 − 32)²/32

χ² = 2,033

Ответ

χ² = 2,033

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 14,07

Степени свободы

df = 9 − 1 − 1 = 7

Таблица

χ²_crit(df = 7, α = 0,05) = 14,067

Ответ

χ²_crit = 14,067

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology