Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Тест настолько лёгок, что почти все участники набирают близкий к максимальному балл. Это называют:

AЭффектом тренировки
BЭффектом порядка
CЭффектом потолка
DЭффектом нижней границы

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь хочет проверить, приводит ли новый метод обучения к лучшим оценкам, но не может рандомизировать студентов. Какая схема в этой ситуации даёт наиболее сильные свидетельства причинности?

AИзмерение только класса, обучавшегося новым методом, после обучения
BОпрос студентов о том, считают ли они, что метод сработал
CСравнение подобранных классов, измеренных до и после, с группой сравнения
DКорреляция оценок с тем, насколько студентам нравится преподаватель

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 40, 40, 15, 42, 37, 19.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений больше 65?

μ = 70σ = 5x = 65

P =

5.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 3 человек из группы из 15 человек? Порядок не важен.

n = 15k = 3

N =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 2X + 1. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,3, 0,35, 0,35Y = 2X + 1

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 20 и 43,1 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x₁ = 20x₂ = 43,1

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Рост мужчин X и женщин Y в группе независимы и нормально распределены: X имеет среднее 180 cm и стандартное отклонение 10 cm, Y имеет среднее 170 cm и стандартное отклонение 12 cm. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

9.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 30 телефонов, среднее 54 h, известное стандартное отклонение 12 h. Модель 2: 40 телефонов, среднее 55 h, известное стандартное отклонение 16 h. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 54 hσ₁ = 12 hn₂ = 40x̄₂ = 55 hσ₂ = 16 h95%

E = h

10.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 11 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 11,2 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 10 2,5 % распределения χ² лежит ниже 3,247 и 2,5 % — выше 20,483.

n = 11s = 11,2 µmχ² = 3,247, 20,483

σ = µm

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 116,5 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 116,5s = 8n = 25

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 100 измерений имеет среднее 52,4. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 15. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 52,4σ = 15n = 10099%

L =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 25,5.

n = 6x = 25,5

ŷ =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1802 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 7 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 7

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Эффектом потолка

Почему это ответ

Эффект потолка скрывает различия между условиями, поскольку никто не может набрать больше. Эффект нижней границы («эффект пола») — обратная ситуация, когда задание слишком трудное.

Ответ

C · Эффектом потолка

2.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Сравнение подобранных классов, измеренных до и после, с группой сравнения

Почему это ответ

Схема с неэквивалентными группами и измерениями до и после контролирует исходные различия и изменения во времени, хотя она слабее рандомизированного эксперимента.

Ответ

C · Сравнение подобранных классов, измеренных до и после, с группой сравнения

3.Описательная статистика

Ответ: s = 11,92

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 193/6 = 32,17

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 7,833² + 7,833² + (−17,17)² + 9,833² + 4,833² + (−13,17)² = 710,8

Стандартное отклонение

s = √(710,8/5) = 11,92

Ответ

s = 11,92

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8413

Стандартизуйте

z = −1

Таблица нормального распределения

Φ(−1) = 0,1587

P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Ответ

P = 0,8413

5.Вероятность

Ответ: N = 455

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(15, 3) = (15·14·13)/(3·2·1) = 455

Ответ

N = 455

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 1,609

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 1,05, Var(X) = 0,6475, σ_X = 0,8047

Линейное преобразование

σ_Y = |2|·0,8047 = 1,609

Ответ

σ_Y = 1,609

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 2·1,05 + 1 = 3,1.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9451

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (20 − 32)/6 = −2

z₂ = (43,1 − 32)/6 = 1,85

Площадь между

P = Φ(1,85) − Φ(−2) = 0,9678 − 0,02275 = 0,9451

Ответ

P = 0,9451

8.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7389

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Ответ

P = 0,7389

9.Доверительные интервалы

Ответ: E = 6,559 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 54 − 55 = −1

Стандартная ошибка

SE = √(12²/30 + 16²/40) = 3,347

Предельная ошибка

E = 1,96·3,347 = 6,559

Ответ

E = 6,559 h

Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.

10.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 19,66 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 10·11,2² = 1254

Границы для σ²

1254/20,483 = 61,24

1254/3,247 = 386,3

Граница для σ

σ = √386,3 = 19,66 µm

Ответ

σ = 19,66 µm

95 % интервал для σ: [7,826, 19,66] µm.

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,188

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 8/√25 = 8/5 = 1,6

Статистика критерия

t = (116,5 − 120)/1,6 = −2,188

Ответ

t = −2,188

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 48,54

Предельная ошибка

E = 2,576·15/√100 = 3,864

Граница интервала

L = 52,4 − 3,864 = 48,54

Ответ

L = 48,54

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9574

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 544/6 = 90,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 306

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1459

Коэффициент корреляции

r = 306/√(70·1459) = 0,9574

Ответ

r = 0,9574

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 82

Средние

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 492/6 = 82

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 567

Линия регрессии

b = 567/157,5 = 3,6

a = 82 − 3,6·25,5 = −9,8

ŷ = −9,8 + 3,6·x

Прогноз

ŷ = −9,8 + 3,6·25,5 = 82

Ответ

ŷ = 82

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 16,78

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

город: 100·54/180 = 30, 100·54/180 = 30, 100·72/180 = 40

село: 80·54/180 = 24, 80·54/180 = 24, 80·72/180 = 32

Статистика хи-квадрат

χ² = (26 − 30)²/30 + (21 − 30)²/30 + (53 − 40)²/40 + (28 − 24)²/24 + (33 − 24)²/24 + (19 − 32)²/32

χ² = 16,78

Ответ

χ² = 16,78

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 6

Степени свободы

df = 7 − 1 = 6

Ответ

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology