Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие
P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

95% доверительный интервал для среднего 50 составляет от 46 до 54. Какова наиболее точная интерпретация?

  1. A95% отдельных участников выборки набрали по этой мере от 46 до 54 баллов
  2. BРезультат незначим
  3. CИспользованная процедура даёт интервалы, содержащие истинное среднее, в 95% случаев
  4. DС вероятностью 95% выборочное среднее равно 50
2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь проводит 20 анализов на одном наборе данных и сообщает только тот, где p < 0,05. Эта практика называется:

  1. AТриангуляция
  2. BP-hacking
  3. CКонтрбалансировка
  4. DПредварительная регистрация
3.Описательная статистикаСредняя
2025303540

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 37, 41, 40, 22, 19.

n = 5
s =
4.Описательная статистикаСложная
z −2−1012

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений больше 192,5?

μ = 170σ = 15x = 192,5
P =
5.ВероятностьСредняя
xp(x)00,2510,320,230,25μ = 1,45

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,3, 0,2, 0,25
σ =
6.ВероятностьСложная
€p(x)−50,89100,1450,01

Игра стоит €5. Вы выигрываете €15 с вероятностью 0,1 и €50 с вероятностью 0,01; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €5€15: p = 0,1€50: p = 0,01
E(G) = €
7.Нормальное распределениеСредняя
1360 kg1456 kgT = X₁ + … + X₁₆?

Массы объектов (пассажиры с багажом) независимы и нормально распределены со средним 85 kg и стандартным отклонением 12 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 16 из них превышает 1456 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16> 1456 kg
P =
8.Нормальное распределениеСложная
0,03 mm0D − d?

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,03 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,03 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
9.Доверительные интервалыСредняя
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E99%

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 100 телефонов, среднее 73 h, известное стандартное отклонение 3 h. Модель 2: 100 телефонов, среднее 83 h, известное стандартное отклонение 4 h. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 73 hσ₁ = 3 hn₂ = 100x̄₂ = 83 hσ₂ = 4 h99%
верхняя граница = h
10.Доверительные интервалыСложная
σ = 37, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 490%

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 37. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 4?

σ = 37E = 490%
n =
11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
t −2,0302,03

Выборка из 36 студентов имеет средний балл 96,5 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 96,5s = 15n = 36
t =
12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
z −2,57602,576

Выборка из 36 измерений имеет среднее 490. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 20. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 490σ = 20n = 3699%
U =
13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy126225321417516615xy246152025

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 21Σy = 120Σx² = 91Σy² = 2512Σxy = 377
r =
14.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy18912110424129271333014933169xy202530100150x = 31,5

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (31,5, 162). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(31,5, 162)
e =
15.Критерии хи-квадратСредняя
автобусвелосипедавтомобильИтогостуденты601723100сотрудники20231760Итого804040160

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1602 × 3
χ² =
16.Критерии хи-квадратСложная
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 3 строками и 3 столбцами (не считая итогов). По таблице найдите критическое значение χ²crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Использованная процедура даёт интервалы, содержащие истинное среднее, в 95% случаев

Почему это ответ

95% ДИ даёт диапазон правдоподобных значений параметра популяции. Более узкие интервалы, получаемые на больших выборках, означают более точные оценки.

Ответ

C · Использованная процедура даёт интервалы, содержащие истинное среднее, в 95% случаев
2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · P-hacking

Почему это ответ

P-hacking использует гибкость анализа для получения значимости, поднимая долю ложноположительных результатов значительно выше 5%. Предварительная регистрация и прозрачная отчётность уменьшают его.

Ответ

B · P-hacking
3.Описательная статистика

Ответ: s = 10,47

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 159/5 = 31,8

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 5,2² + 9,2² + 8,2² + (−9,8)² + (−12,8)² = 438,8

Стандартное отклонение

s = √(438,8/4) = 10,47

Ответ

s = 10,47
4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,06681

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблица нормального распределения

Φ(1,5) = 0,9332
P = 1 − 0,9332 = 0,06681

Ответ

P = 0,06681
5.Вероятность

Ответ: σ = 1,117

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,25 + 1·0,3 + 2·0,2 + 3·0,25 = 1,45

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,3 + 4·0,2 + 9·0,25 = 3,35

Дисперсия

Var(X) = 3,35 − 1,45² = 1,248
σ = √1,248 = 1,117

Ответ

σ = 1,117
6.Вероятность

Ответ: E(G) = −3 €

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.

Чистые исходы

G: 10 (p = 0,1), 45 (p = 0,01), −5 (p = 0,89)

Математическое ожидание

E(G) = 10·0,1 + 45·0,01 − 5·0,89 = −3 €

Ответ

E(G) = −3 €

Отрицательное значение означает, что в среднем вы теряете деньги.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,02275

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μT = 1360 kg, σT = 12·√16 = 48 kg

Стандартизуйте

z = (1456 − 1360)/48 = 2

Вероятность

P = 1 − Φ(2) = 0,02275

Ответ

P = 0,02275
8.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9515

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,03 − 25 = 0,03 mm, σ = 0,01803 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,03)/0,01803 = −1,66

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,66) = 0,9515

Ответ

P = 0,9515
9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = −8,712 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 73 − 83 = −10

Стандартная ошибка

SE = √(3²/100 + 4²/100) = 0,5

Предельная ошибка

E = 2,576·0,5 = 1,288

Интервал

−10 ± 1,288 → [−11,29, −8,712]

Ответ

верхняя граница = −8,712 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 232

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,645·37/4)² = 231,5

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 232

Ответ

n = 232
11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,4

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 15/√36 = 15/6 = 2,5

Статистика критерия

t = (96,5 − 100)/2,5 = −1,4

Ответ

t = −1,4
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| < 2.03, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 498,6

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 2,576·20/√36 = 8,587

Граница интервала

U = 490 + 8,587 = 498,6

Ответ

U = 498,6
13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9713

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

Sxy = 377 − 21·120/6 = −43
Sxx = 91 − 21²/6 = 17,5
Syy = 2512 − 120²/6 = 112

Коэффициент корреляции

r = −43/√(17,5·112) = −0,9713

Ответ

r = −0,9713
14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 2,605

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 153/6 = 25,5
ȳ = 775/6 = 129,2

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 793,5

Линия регрессии

b = 793,5/157,5 = 5,038
a = 129,2 − 5,038·25,5 = 0,6952
ŷ = 0,6952 + 5,038·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 0,6952 + 5,038·31,5 = 159,4

Остаток

e = 162 − 159,4 = 2,605

Ответ

e = 2,605

Точка лежит выше прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 12,59

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

студенты: 100·80/160 = 50, 100·40/160 = 25, 100·40/160 = 25
сотрудники: 60·80/160 = 30, 60·40/160 = 15, 60·40/160 = 15

Статистика хи-квадрат

χ² = (60 − 50)²/50 + (17 − 25)²/25 + (23 − 25)²/25 + (20 − 30)²/30 + (23 − 15)²/15 + (17 − 15)²/15
χ² = 12,59

Ответ

χ² = 12,59

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²crit = 13,28

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Степени свободы

df = (3 − 1)·(3 − 1) = 4

Таблица

χ²crit(df = 4, α = 0,01) = 13,277

Ответ

χ²crit = 13,277

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology