Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Операционализация означает:

AОпределение переменных точно и измеримо
BИнструктирование участников
CПроведение исследования в реальной рабочей обстановке, например в больнице
DВыбор статистического теста

2.Методы исследования в психологииСложная

Какова главная цель случайного распределения по условиям в эксперименте?

AГарантировать, что участники не знают цели
BПовысить долю ответивших
CРавномерно распределить индивидуальные переменные, чтобы они не искажали результаты
DСделать выборку репрезентативной для целевой популяции, чтобы результаты можно было обобщить

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 48, 31, 26, 54, 11, 40, 17.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений меньше 95?

μ = 100σ = 10x = 95

P =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3

σ =

6.ВероятностьСложная

Испытывают 9 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,4. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 9p = 0,4

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 422 и 540 h? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 500σ = 40x₁ = 422x₂ = 540

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 90 % значений (90-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 90%

x = баллов

9.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 40 телефонов, среднее 74,5 h, известное стандартное отклонение 5 h. Модель 2: 50 телефонов, среднее 70,5 h, известное стандартное отклонение 7 h. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 74,5 hσ₁ = 5 hn₂ = 50x̄₂ = 70,5 hσ₂ = 7 h99%

E = h

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 9. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 9E = 195%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 54,11 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 54,11s = 12n = 49

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 99 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 1? Стандартное отклонение — 5. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 5E = 199%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (20, 74). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(20, 74)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1202 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 7 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Определение переменных точно и измеримо

Почему это ответ

Операционализация превращает абстрактные понятия в конкретные измерения, чтобы исследование можно было воспроизвести.

Ответ

A · Определение переменных точно и измеримо

2.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Равномерно распределить индивидуальные переменные, чтобы они не искажали результаты

Почему это ответ

Случайное распределение уравновешивает индивидуальные различия между условиями и поддерживает причинные выводы. Случайная выборка относится к обобщению на популяцию.

Ответ

C · Равномерно распределить индивидуальные переменные, чтобы они не искажали результаты

3.Описательная статистика

Ответ: s = 15,84

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 227/7 = 32,43

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 15,57² + (−1,429)² + (−6,429)² + 21,57² + (−21,43)² + 7,571² + (−15,43)² = 1506

Стандартное отклонение

s = √(1506/6) = 15,84

Ответ

s = 15,84

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,3085

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблица нормального распределения

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 0,3085

Ответ

P = 0,3085

5.Вероятность

Ответ: σ = 0,8047

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55

Дисперсия

Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475

σ = √0,6475 = 0,8047

Ответ

σ = 0,8047

6.Вероятность

Ответ: P = 0,07054

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,6⁹ = 0,01008

P(X = 1) = 9·0,4·0,6⁸ = 0,06047

Сложите

P = 0,01008 + 0,06047 = 0,07054

Ответ

P = 0,07054

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8158

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (422 − 500)/40 = −1,95

z₂ = (540 − 500)/40 = 1

Площадь между

P = Φ(1) − Φ(−1,95) = 0,8413 − 0,02559 = 0,8158

Ответ

P = 0,8158

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 119,2 баллов

z для процентиля

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Обратно к x

x = 100 + 1,282·15 = 119,22 баллов

Ответ

x = 119,22 баллов

9.Доверительные интервалы

Ответ: E = 3,263 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 74,5 − 70,5 = 4

Стандартная ошибка

SE = √(5²/40 + 7²/50) = 1,267

Предельная ошибка

E = 2,576·1,267 = 3,263

Ответ

E = 3,263 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 312

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,96·9/1)² = 311,2

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 312

Ответ

n = 312

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,397

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714

Статистика критерия

t = (54,11 − 50)/1,714 = 2,397

Ответ

t = 2,397

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| > 2,011, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 166

Выразите n

n = (2,576·5/1)² = 165,9

Округлите вверх

n = 166

Ответ

n = 166

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,986

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 78/5 = 15,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 227,2

Коэффициент корреляции

r = 94/√(40·227,2) = 0,986

Ответ

r = 0,986

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 1,51

Средние

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 491/6 = 81,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 327

Линия регрессии

b = 327/70 = 4,671

a = 81,83 − 4,671·22 = −20,94

ŷ = −20,94 + 4,671·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −20,94 + 4,671·20 = 72,49

Остаток

e = 74 − 72,49 = 1,51

Ответ

e = 1,51

Точка лежит выше прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 0,6061

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

новый препарат: 40·54/120 = 18, 40·66/120 = 22

плацебо: 80·54/120 = 36, 80·66/120 = 44

Статистика хи-квадрат

χ² = (20 − 18)²/18 + (20 − 22)²/22 + (34 − 36)²/36 + (46 − 44)²/44

χ² = 0,6061

Ответ

χ² = 0,6061

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 11,07

Степени свободы

df = 7 − 1 − 1 = 5

Таблица

χ²_crit(df = 5, α = 0,05) = 11,070

Ответ

χ²_crit = 11,070

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology