Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие
P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

В распределении с положительной асимметрией, например в распределении доходов:

  1. AСреднее больше медианы
  2. BЭкстремальных значений нет
  3. CСреднее меньше медианы
  4. DСреднее и медиана всегда равны
2.Методы исследования в психологииСложная

Факультет психологии набирает участников только из вводных курсов психологии. Критики называют такие выборки «WEIRD». Что это означает?

  1. AВыборки, набранные взвешенными случайными методами
  2. BЗападные, образованные, индустриальные, богатые и демократические (Western, Educated, Industrialised, Rich, Democratic) выборки, результаты которых могут не обобщаться
  3. CВыборки, необычно странные в своём поведении
  4. DВыборки, рано выбывающие из исследований
3.Описательная статистикаСредняя
3540455055

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 43, 58, 32, 47, 37, 51, 45.

n = 7
s =
4.Описательная статистикаСложная
z −2−1012

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений больше 62?

μ = 70σ = 8x = 62
P =
5.ВероятностьСредняя
xp(x)00,210,2520,2530,140,2μ = 1,85

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,25, 0,25, 0,1, 0,2
σ =
6.ВероятностьСложная
€p(x)−20,8880,1980,02

Игра стоит €2. Вы выигрываете €10 с вероятностью 0,1 и €100 с вероятностью 0,02; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €2€10: p = 0,1€100: p = 0,02
E(G) = €
7.Нормальное распределениеСредняя
360 g356,4 gT = X₁ + … + X₉?

Массы объектов (болты) независимы и нормально распределены со средним 40 g и стандартным отклонением 1,2 g. Найдите вероятность P того, что общая масса 9 из них меньше 356,4 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 9< 356.4 g
P =
8.Нормальное распределениеСложная
μ = 178x = ?99%

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 99%
x = cm
9.Доверительные интервалыСредняя
n = 12, sd​ = 1,20L = ?Ud̄ = −1,9E99%

У 12 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее −1,9 и стандартное отклонение 1,2. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для средней разности.

n = 12d̄ = −1,9sd = 1,299%t(11) = 3,106
нижняя граница = mmHg
10.Доверительные интервалыСложная
μ₁ − μ₂, t(14) = 2,1450LU = ?x̄₁ − x̄₂E95%

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 9 участков, средний урожай 34 kg, стандартное отклонение 9 kg. Группа участков 2: 7 участков, среднее 40,5 kg, стандартное отклонение 2 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 34s₁ = 9n₂ = 7x̄₂ = 40,5s₂ = 295%t(14) = 2,145
верхняя граница = kg
11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
t −2,0302,03

Выборка из 36 студентов имеет средний балл 52 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 52s = 10n = 36
t =
12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
μ₀x̄c

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 500 против H₁: μ > 500 проводится при α = 0,01 по выборке объёмом 64; стандартное отклонение известно и равно 20. В действительности среднее равно 504,25. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.

μ₀ = 500μ = 504,25σ = 20n = 64α = 0,01
1 − β = %
13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy2114166228291035xy510102030

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 30Σy = 113Σx² = 220Σy² = 2927Σxy = 800
r =
14.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy127224321419515611xy24610152025ŷ = 26

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 26?

n = 6ŷ = 26
x =
15.Критерии хи-квадратСредняя
без дефектовнезначительныйзначительныйИтогодневная смена51131680ночная смена9171440Итого603030120

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1202 × 3
χ² =
16.Критерии хи-квадратСложная
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 11 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). По таблице найдите критическое значение χ²crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Среднее больше медианы

Почему это ответ

Несколько очень высоких значений в правом «хвосте» поднимают среднее выше медианы, поэтому для асимметричных данных часто указывают медиану.

Ответ

A · Среднее больше медианы
2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Западные, образованные, индустриальные, богатые и демократические (Western, Educated, Industrialised, Rich, Democratic) выборки, результаты которых могут не обобщаться

Почему это ответ

Хенрих и коллеги отметили, что большинство участников психологических исследований происходят из обществ WEIRD, которые нерепрезентативны для человечества в целом, что угрожает популяционной валидности.

Ответ

B · Западные, образованные, индустриальные, богатые и демократические (Western, Educated, Industrialised, Rich, Democratic) выборки, результаты которых могут не обобщаться
3.Описательная статистика

Ответ: s = 8,616

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 313/7 = 44,71

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−1,714)² + 13,29² + (−12,71)² + 2,286² + (−7,714)² + 6,286² + 0,2857² = 445,4

Стандартное отклонение

s = √(445,4/6) = 8,616

Ответ

s = 8,616
4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8413

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Стандартизуйте

z = −1

Таблица нормального распределения

Φ(−1) = 0,1587
P = 1 − 0,1587 = 0,8413

Ответ

P = 0,8413
5.Вероятность

Ответ: σ = 1,388

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,2 + 1·0,25 + 2·0,25 + 3·0,1 + 4·0,2 = 1,85

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,25 + 4·0,25 + 9·0,1 + 16·0,2 = 5,35

Дисперсия

Var(X) = 5,35 − 1,85² = 1,927
σ = √1,927 = 1,388

Ответ

σ = 1,388
6.Вероятность

Ответ: E(G) = 1 €

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.

Чистые исходы

G: 8 (p = 0,1), 98 (p = 0,02), −2 (p = 0,88)

Математическое ожидание

E(G) = 8·0,1 + 98·0,02 − 2·0,88 = 1 €

Ответ

E(G) = 1 €

Положительное значение означает, что в среднем вы выигрываете деньги.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1587

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μT = 360 g, σT = 1,2·√9 = 3,6 g

Стандартизуйте

z = (356,4 − 360)/3,6 = −1

Вероятность

P = Φ(−1) = 0,1587

Ответ

P = 0,1587
8.Нормальное распределение

Ответ: x = 194,3 cm

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Обратно к x

x = 178 + 2,326·7 = 194,28 cm

Ответ

x = 194,28 cm
9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −2,976 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 11, t = 3,106

Предельная ошибка

E = 3,106·1,2/√12 = 1,076

Интервал

−1,9 ± 1,076 → [−2,976, −0,8241]

Ответ

нижняя граница = −2,976 mmHg
10.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 0,9892 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

sp² = (8·9² + 6·2²)/14 = 48
sp = 6,928

Предельная ошибка

E = 2,145·6,928·√(1/9 + 1/7) = 7,489

Интервал

−6,5 ± 7,489 → [−13,99, 0,9892]

Ответ

верхняя граница = 0,9892 kg
11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667

Статистика критерия

t = (52 − 50)/1,667 = 1,2

Ответ

t = 1,2
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| < 2.03, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: 1 − β = 26,57 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 20/√64 = 2,5
x̄c = 500 + 2,326·2,5 = 505,8

z при истинном среднем

z = (505,8 − 504,25)/2,5 = 0,626

Мощность

мощность = P(Z > 0,626) = 26,57%
1 − β = 26,57%

Ответ

1 − β = 26,57%
13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9985

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

Sxy = 800 − 30·113/5 = 122
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 2927 − 113²/5 = 373,2

Коэффициент корреляции

r = 122/√(40·373,2) = 0,9985

Ответ

r = 0,9985
14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 1,413

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 117/6 = 19,5

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −54,5

Линия регрессии

b = −54,5/17,5 = −3,114
a = 19,5 − (−3,114)·3,5 = 30,4
ŷ = 30,4 − 3,114·x

Найдите x

x = (26 − 30,4)/(−3,114) = 1,413

Ответ

x = 1,413
15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 18,83

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

дневная смена: 80·60/120 = 40, 80·30/120 = 20, 80·30/120 = 20
ночная смена: 40·60/120 = 20, 40·30/120 = 10, 40·30/120 = 10

Статистика хи-квадрат

χ² = (51 − 40)²/40 + (13 − 20)²/20 + (16 − 20)²/20 + (9 − 20)²/20 + (17 − 10)²/10 + (14 − 10)²/10
χ² = 18,83

Ответ

χ² = 18,83

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²crit = 23,21

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Степени свободы

df = 11 − 1 = 10

Таблица

χ²crit(df = 10, α = 0,01) = 23,209

Ответ

χ²crit = 23,209

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology