Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие
P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Тест настолько лёгок, что почти все участники набирают близкий к максимальному балл. Это называют:

  1. AЭффектом порядка
  2. BЭффектом потолка
  3. CЭффектом тренировки
  4. DЭффектом нижней границы
2.Методы исследования в психологииСложная

Тест «интеллекта» в основном измеряет, насколько быстро люди печатают. Какого вида валидности явно не хватает?

  1. AМежэкспертной надёжности
  2. BКонструктной валидности
  3. CВнутренней согласованности
  4. DРетестовой надёжности
3.Описательная статистикаСредняя
1520253035404550

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 54, 15, 35, 49, 38, 49, 31.

n = 7
s =
4.Описательная статистикаСложная
z −2−1012

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений больше 55?

μ = 60σ = 10x = 55
P =
5.ВероятностьСредняя
n = 9k = 4N = ?

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 4 человек из группы из 9 человек? Порядок не важен.

n = 9k = 4
N =
6.ВероятностьСложная
n = 6, p = 0,4: P(X ≤ 1) = ?k0123456

Испытывают 6 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,4. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 6p = 0,4
P =
7.Нормальное распределениеСредняя
24,837,1P = ?

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 24,8 и 37,1 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x1 = 24,8x2 = 37,1
P =
8.Нормальное распределениеСложная
μ = 500x = ?5%

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 5 % значений (5-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 5%
x = h
9.Доверительные интервалыСредняя
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E95%

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 80 телефонов, среднее 54 h, известное стандартное отклонение 18 h. Модель 2: 80 телефонов, среднее 47 h, известное стандартное отклонение 3 h. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 54 hσ₁ = 18 hn₂ = 80x̄₂ = 47 hσ₂ = 3 h95%
нижняя граница = h
10.Доверительные интервалыСложная
μ₁ − μ₂, t(20) = 2,0860L = ?Ux̄₁ − x̄₂E95%

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 16 участков, средний урожай 40 kg, стандартное отклонение 7 kg. Группа участков 2: 6 участков, среднее 29 kg, стандартное отклонение 2 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 16x̄₁ = 40s₁ = 7n₂ = 6x̄₂ = 29s₂ = 295%t(20) = 2,086
нижняя граница = kg
11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
−1,961,96z = ?

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 80 деталей имеет среднюю длину 107,5 mm, известное стандартное отклонение линии 14 mm. Линия 2: выборка из 30 деталей имеет среднее 98,2 mm, известное стандартное отклонение 14 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 80x̄₁ = 107,5 mmσ₁ = 14 mmn₂ = 30x̄₂ = 98,2 mmσ₂ = 14 mm
z =
12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 4α = 0,01βσ = 11, мощность 90%, n = ?

Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 4 единиц с мощностью 90 %. Стандартное отклонение равно 11. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,01мощность = 90%δ = 4σ = 11zα = 2,326zβ = 1,282
n =
13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy24244565186010671265xy51040506070

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 42Σy = 330Σx² = 364Σy² = 18704Σxy = 2500
r =
14.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy133233343452559xy24405060x = 4,5

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 4,5.

n = 5x = 4,5
ŷ =
15.Критерии хи-квадратСредняя
низкийсреднийвысокийИтогогород37184196село27172165Итого643562161

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «город, высокий».

итог по строке = 96итог по столбцу = 62N = 161
E =
16.Критерии хи-квадратСложная
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 6 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). По таблице найдите критическое значение χ²crit при уровне значимости α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Эффектом потолка

Почему это ответ

Эффект потолка скрывает различия между условиями, поскольку никто не может набрать больше. Эффект нижней границы («эффект пола») — обратная ситуация, когда задание слишком трудное.

Ответ

B · Эффектом потолка
2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Конструктной валидности

Почему это ответ

Конструктная валидность — это то, действительно ли методика отражает лежащий в её основе конструкт. Тест может быть надёжным, измеряя не то.

Ответ

B · Конструктной валидности
3.Описательная статистика

Ответ: s = 13,43

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 271/7 = 38,71

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 15,29² + (−23,71)² + (−3,714)² + 10,29² + (−0,7143)² + 10,29² + (−7,714)² = 1081

Стандартное отклонение

s = √(1081/6) = 13,43

Ответ

s = 13,43
4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,6915

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Стандартизуйте

z = −0,5

Таблица нормального распределения

Φ(−0,5) = 0,3085
P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Ответ

P = 0,6915
5.Вероятность

Ответ: N = 126

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(9, 4) = (9·8·7·6)/(4·3·2·1) = 126

Ответ

N = 126
6.Вероятность

Ответ: P = 0,2333

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,66 = 0,04666
P(X = 1) = 6·0,4·0,65 = 0,1866

Сложите

P = 0,04666 + 0,1866 = 0,2333

Ответ

P = 0,2333
7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6873

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (24,8 − 32)/6 = −1,2
z₂ = (37,1 − 32)/6 = 0,85

Площадь между

P = Φ(0,85) − Φ(−1,2) = 0,8023 − 0,1151 = 0,6873

Ответ

P = 0,6873
8.Нормальное распределение

Ответ: x = 434,2 h

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Обратно к x

x = 500 + −1,645·40 = 434,2 h

Ответ

x = 434,2 h
9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 3,001 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 54 − 47 = 7

Стандартная ошибка

SE = √(18²/80 + 3²/80) = 2,04

Предельная ошибка

E = 1,96·2,04 = 3,999

Интервал

7 ± 3,999 → [3,001, 11]

Ответ

нижняя граница = 3,001 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

10.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 4,865 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

sp² = (15·7² + 5·2²)/20 = 37,75
sp = 6,144

Предельная ошибка

E = 2,086·6,144·√(1/16 + 1/6) = 6,135

Интервал

11 ± 6,135 → [4,865, 17,14]

Ответ

нижняя граница = 4,865 kg
11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 3,103

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(14²/80 + 14²/30) = √8,983 = 2,997

Статистика критерия

z = (107,5 − 98,2)/2,997 = 3,103

Ответ

z = 3,103

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 99

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((2,326 + 1,282)·11/4)² = 98,45

Округлите вверх

n = 99

Ответ

n = 99
13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9648

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

Sxy = 2500 − 42·330/6 = 190
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 18704 − 330²/6 = 554

Коэффициент корреляции

r = 190/√(70·554) = 0,9648

Ответ

r = 0,9648
14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 54,65

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 220/5 = 44

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 71

Линия регрессии

b = 71/10 = 7,1
a = 44 − 7,1·3 = 22,7
ŷ = 22,7 + 7,1·x

Прогноз

ŷ = 22,7 + 7,1·4,5 = 54,65

Ответ

ŷ = 54,65
15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 36,97

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 96·62/161 = 36,97

Ответ

E = 36,97
16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²crit = 11,07

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Степени свободы

df = 6 − 1 = 5

Таблица

χ²crit(df = 5, α = 0,05) = 11,070

Ответ

χ²crit = 11,070

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology