Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Исследователь рассылает опросник всем студентам, а затем просит респондентов привлечь друзей, которые тоже пользуются редким приложением для сна. Какой метод формирования выборки используется на втором шаге?

AСлучайная выборка
BСистематическая выборка
CВыборка методом «снежного кома»
DСтратифицированная выборка

2.Методы исследования в психологииСложная

Факторный дисперсионный анализ 2 × 3 показывает, что препарат улучшает память у молодых взрослых, но не у пожилых. Что обнаружено?

AЭффект нижней границы
BВзаимодействие между препаратом и возрастом
CОшибка I рода
DТолько главный эффект возраста

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 32, 48, 41, 18, 32, 57.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 75.

μ = 60σ = 15x = 75

z =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,25, 0,1, 0,35

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 2X + 4. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,2, 0,2, 0,2, 0,25, 0,15Y = 2X + 4

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 57 и 70,5 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x₁ = 57x₂ = 70,5

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «баллы за экзамен» нормальное: среднее 65 баллов, стандартное отклонение 10 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 20% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 65 балловσ = 10 баллов20%

x = баллов

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 9 элементов имеет среднее 77 и стандартное отклонение s = 5,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 9x̄ = 77s = 5,590%t(8) = 1,86

верхняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 10 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 9,6 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 9 2,5 % распределения χ² лежит ниже 2,7 и 2,5 % — выше 19,023.

n = 10s = 9,6 µmχ² = 2,7, 19,023

σ = µm

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 81 студентов имеет средний балл 497,2 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 497,2s = 8n = 81

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 50 против H₁: μ < 50 проводится при α = 0.05 по выборке объёмом 25; стандартное отклонение известно и равно 15. В действительности среднее равно 42.2. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 50μ = 42,2σ = 15n = 25α = 0,05

β = %

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 23?

n = 5ŷ = 23

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «студенты, автомобиль».

итог по строке = 57итог по столбцу = 50N = 150

E =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 2 строками и 6 столбцами (не считая итогов). По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Выборка методом «снежного кома»

Почему это ответ

Метод «снежного кома» полезен для труднодоступных групп, но участники такой выборки, вероятно, схожи между собой, и она нерепрезентативна.

Ответ

C · Выборка методом «снежного кома»

2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Взаимодействие между препаратом и возрастом

Почему это ответ

Взаимодействие возникает, когда эффект одного фактора различается на разных уровнях другого. Здесь эффект препарата зависит от возрастной группы.

Ответ

B · Взаимодействие между препаратом и возрастом

3.Описательная статистика

Ответ: s = 13,73

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 228/6 = 38

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−6)² + 10² + 3² + (−20)² + (−6)² + 19² = 942

Стандартное отклонение

s = √(942/5) = 13,73

Ответ

s = 13,73

4.Описательная статистика

Ответ: z = 1

Стандартизуйте

z = (75 − 60)/15 = 1

Ответ

z = 1

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 6,2

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,3 + 2·0,25 + 4·0,1 + 6·0,35 = 3

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,25 + 16·0,1 + 36·0,35 = 15,2

Дисперсия

Var(X) = 15,2 − 3² = 6,2

Ответ

Var(X) = 6,2

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 2,718

Разброс X

μ = 2,95, Var(X) = 1,848, σ_X = 1,359

Линейное преобразование

σ_Y = |2|·1,359 = 2,718

Ответ

σ_Y = 2,718

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 2·2,95 + 4 = 9,9.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,497

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (57 − 65)/10 = −0,8

z₂ = (70,5 − 65)/10 = 0,55

Площадь между

P = Φ(0,55) − Φ(−0,8) = 0,7088 − 0,2119 = 0,497

Ответ

P = 0,497

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 73,4 баллов

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,8

z из таблицы

z ≈ 0,84

Возврат к исходным единицам

x = 65 + 0,84·10 = 73,4 баллов

Ответ

x = 73,4 баллов

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 80,41

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 8, t = 1,86

Предельная ошибка

E = 1,86·5,5/√9 = 3,41

Интервал

77 ± 3,41 → [73,59, 80,41]

Ответ

верхняя граница = 80,41

10.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 17,53 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 9·9,6² = 829,4

Границы для σ²

829,4/19,023 = 43,6

829,4/2,7 = 307,2

Граница для σ

σ = √307,2 = 17,53 µm

Ответ

σ = 17,53 µm

95 % интервал для σ: [6,603, 17,53] µm.

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −3,15

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 8/√81 = 8/9 = 0,8889

Статистика критерия

t = (497,2 − 500)/0,8889 = −3,15

Ответ

t = −3,15

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 16,98 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 15/√25 = 3

x̄_c = 50 − 1,645·3 = 45,06

z при истинном среднем

z = (45,06 − 42,2)/3 = 0,955

Ошибка второго рода

мощность = P(Z < 0.955) = 83.02%

β = 100% − 83,02% = 16,98%

Ответ

β = 16,98%

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9627

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 113/6 = 18,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −55,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 182,8

Коэффициент детерминации

r² = −55,5²/(17,5·182,8) = 0,9627

Ответ

r² = 0,9627

Прямая объясняет около 96,27% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 1,154

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 103/5 = 20,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −13

Линия регрессии

b = −13/10 = −1,3

a = 20,6 − (−1,3)·3 = 24,5

ŷ = 24,5 − 1,3·x

Найдите x

x = (23 − 24,5)/(−1,3) = 1,154

Ответ

x = 1,154

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 19

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 57·50/150 = 19

Ответ

E = 19

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 11,07

Степени свободы

df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5

Таблица

χ²_crit(df = 5, α = 0,05) = 11,070

Ответ

χ²_crit = 11,070

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology