Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Исследователь сравнивает агрессивность детей до и после появления телевидения в отдалённом городке. Появление телевидения исследователь не контролировал. Это:

AЛабораторный эксперимент
BЕстественный эксперимент
CПолевой эксперимент
DКорреляционный опрос о просмотре телевизора

2.Методы исследования в психологииСложная

В тематическом анализе аналитик в основном:

AПроверяет числовую гипотезу
BВычисляет средний балл каждой темы, чтобы статистически сравнить их
CТолько подсчитывает частоту слов
DВыявляет повторяющиеся смысловые паттерны в качественных данных

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 50, 18, 42, 24, 20, 44.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 5. Какая доля P значений меньше 66,25?

μ = 60σ = 5x = 66,25

P =

5.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 4 человек из группы из 14 человек? Порядок не важен.

n = 14k = 4

N =

6.ВероятностьСложная

В тесте 9 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,25, независимо. Какова вероятность P ровно 5 верных ответов?

n = 9p = 0,25k = 5

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 62 и 67,5 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x₁ = 62x₂ = 67,5

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 97,5 % значений (97,5-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 97,5%

x = min

9.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 30 телефонов, среднее 75,5 h, известное стандартное отклонение 8 h. Модель 2: 40 телефонов, среднее 63,5 h, известное стандартное отклонение 15 h. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 75,5 hσ₁ = 8 hn₂ = 40x̄₂ = 63,5 hσ₂ = 15 h95%

нижняя граница = h

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 9. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?

σ = 9E = 0,599%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 71,9 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 71,9s = 5n = 25

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 99 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 0,5? Стандартное отклонение — 4. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 4E = 0,599%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (20, 50). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(20, 50)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «студенты, автобус».

итог по строке = 75итог по столбцу = 59N = 189

E =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 6 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 6

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Естественный эксперимент

Почему это ответ

В естественном эксперименте НП варьирует из-за событий, не зависящих от исследователя. Экологическая валидность высока, но случайное распределение невозможно.

Ответ

B · Естественный эксперимент

2.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Выявляет повторяющиеся смысловые паттерны в качественных данных

Почему это ответ

Тематический анализ включает знакомство с данными, кодирование, формирование, пересмотр и наименование тем и написание отчёта; в центре — смысл, а не статистика.

Ответ

D · Выявляет повторяющиеся смысловые паттерны в качественных данных

3.Описательная статистика

Ответ: s = 13,9

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 198/6 = 33

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 17² + (−15)² + 9² + (−9)² + (−13)² + 11² = 966

Стандартное отклонение

s = √(966/5) = 13,9

Ответ

s = 13,9

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8944

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблица нормального распределения

Φ(1,25) = 0,8944

P = 0,8944

Ответ

P = 0,8944

5.Вероятность

Ответ: N = 1001

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(14, 4) = (14·13·12·11)/(4·3·2·1) = 1001

Ответ

N = 1001

6.Вероятность

Ответ: P = 0,03893

Формула Бернулли

P(X = 5) = 126·0,25⁵·0,75⁴ = 126·0,0009766·0,3164 = 0,03893

Ответ

P = 0,03893

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,2166

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (62 − 65)/10 = −0,3

z₂ = (67,5 − 65)/10 = 0,25

Площадь между

P = Φ(0,25) − Φ(−0,3) = 0,5987 − 0,3821 = 0,2166

Ответ

P = 0,2166

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 43,76 min

z для процентиля

Φ(z) = 0,975 → z = 1,96

Обратно к x

x = 32 + 1,96·6 = 43,76 min

Ответ

x = 43,76 min

9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 6,541 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 75,5 − 63,5 = 12

Стандартная ошибка

SE = √(8²/30 + 15²/40) = 2,785

Предельная ошибка

E = 1,96·2,785 = 5,459

Интервал

12 ± 5,459 → [6,541, 17,46]

Ответ

нижняя граница = 6,541 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 2150

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·9/0,5)² = 2150

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 2150

Ответ

n = 2150

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −3,1

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√25 = 5/5 = 1

Статистика критерия

t = (71,9 − 75)/1 = −3,1

Ответ

t = −3,1

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 425

Выразите n

n = (2,576·4/0,5)² = 424,7

Округлите вверх

n = 425

Ответ

n = 425

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9649

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 102/5 = 20,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 139,2

Коэффициент корреляции

r = −36/√(10·139,2) = −0,9649

Ответ

r = −0,9649

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −1,833

Средние

x̄ = 120/6 = 20

ȳ = 311/6 = 51,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 265

Линия регрессии

b = 265/70 = 3,786

a = 51,83 − 3,786·20 = −23,88

ŷ = −23,88 + 3,786·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −23,88 + 3,786·20 = 51,83

Остаток

e = 50 − 51,83 = −1,833

Ответ

e = −1,833

Точка лежит ниже прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 23,41

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 75·59/189 = 23,41

Ответ

E = 23,41

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 4

Степени свободы

df = 6 − 1 − 1 = 4

Ответ

df = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology