Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Публикационное смещение означает, что:

AИсследования со значимыми результатами публикуются с большей вероятностью, чем исследования с нулевыми результатами
BЖурналы публикуют только качественные исследования
CРецензенты отдают предпочтение статьям авторов из известных университетов перед менее известными
DИсследователи публикуют одно и то же исследование дважды

2.Методы исследования в психологииСложная

Шкала самоотчёта обнаруживает, что люди, соглашающиеся со многими утверждениями, получают высокие баллы независимо от содержания. Что это за смещение ответов и как его уменьшить?

AТребовательные характеристики; использовать двойную слепую схему
BСклонность к согласию (акквиесценция); включить пункты с обратной формулировкой
CСмещение социальной желательности; использовать большую выборку
DЭффекты порядка; контрбалансировать участников

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 35, 48, 21, 42, 23.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 100. Какая доля P значений меньше 560?

μ = 500σ = 100x = 560

P =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,15, 0,1, 0,3, 0,1

σ =

6.ВероятностьСложная

В тесте 8 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,1, независимо. Какова вероятность P ровно 1 верных ответов?

n = 8p = 0,1k = 1

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,3255. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,3255

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 85% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 250 gσ = 5 g85%

x = g

9.Доверительные интервалыСредняя

90 % доверительный интервал для среднего, построенный по 25 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 10. Какой будет предельная ошибка E₂ 99 % интервала по 100 наблюдениям?

90%n₁ = 25E₁ = 1099%n₂ = 100

E₂ =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 27. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 27E = 195%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 499,4 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 499,4s = 5n = 49

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 81 измерений имеет среднее 196,4. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 12. Найдите верхнюю границу U 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 196,4σ = 12n = 8190%

U =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 142?

n = 6ŷ = 142

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,05, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 1403 × 2α = 0,05

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Исследования со значимыми результатами публикуются с большей вероятностью, чем исследования с нулевыми результатами

Почему это ответ

Когда незначимые исследования остаются в ящиках столов, опубликованная литература завышает величины эффектов, что искажает метаанализы.

Ответ

A · Исследования со значимыми результатами публикуются с большей вероятностью, чем исследования с нулевыми результатами

2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Склонность к согласию (акквиесценция); включить пункты с обратной формулировкой

Почему это ответ

Акквиесценция — склонность соглашаться с пунктами. Если смешать прямо и обратно сформулированные пункты, согласие со всем уже не даёт крайнего балла.

Ответ

B · Склонность к согласию (акквиесценция); включить пункты с обратной формулировкой

3.Описательная статистика

Ответ: s = 11,73

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 169/5 = 33,8

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 1,2² + 14,2² + (−12,8)² + 8,2² + (−10,8)² = 550,8

Стандартное отклонение

s = √(550,8/4) = 11,73

Ответ

s = 11,73

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,7257

Стандартизуйте

z = 0,6

Таблица нормального распределения

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

Ответ

P = 0,7257

5.Вероятность

Ответ: σ = 1,459

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,35 + 2·0,15 + 3·0,1 + 4·0,3 + 5·0,1 = 2,65

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,15 + 9·0,1 + 16·0,3 + 25·0,1 = 9,15

Дисперсия

Var(X) = 9,15 − 2,65² = 2,128

σ = √2,128 = 1,459

Ответ

σ = 1,459

6.Вероятность

Ответ: P = 0,3826

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 1) = 8·0,1¹·0,9⁷ = 8·0,1·0,4783 = 0,3826

Ответ

P = 0,3826

7.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,42

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,3255)/2 = 0,6628

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,6628 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,42

Ответ

z = 0,42

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 244,8 g

Площадь слева

Φ(z) = 0,15

z из таблицы

z ≈ −1,04

Возврат к исходным единицам

x = 250 − 1,04·5 = 244,8 g

Ответ

x = 244,8 g

9.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 7,83

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (2,576/1,645)·√(25/100) = 0,783

Новая предельная ошибка

E₂ = 10·0,783 = 7,83

Ответ

E₂ = 7,83

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 2801

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,96·27/1)² = 2801

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 2801

Ответ

n = 2801

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −0,84

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√49 = 5/7 = 0,7143

Статистика критерия

t = (499,4 − 500)/0,7143 = −0,84

Ответ

t = −0,84

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 198,6

Предельная ошибка

E = 1,645·12/√81 = 2,193

Граница интервала

U = 196,4 + 2,193 = 198,6

Ответ

U = 198,6

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9923

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 75/5 = 15

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 104

Коэффициент корреляции

r = 64/√(40·104) = 0,9923

Ответ

r = 0,9923

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 28,56

Средние

x̄ = 135/6 = 22,5

ȳ = 673/6 = 112,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 775,5

Линия регрессии

b = 775,5/157,5 = 4,924

a = 112,2 − 4,924·22,5 = 1,381

ŷ = 1,381 + 4,924·x

Найдите x

x = (142 − 1,381)/4,924 = 28,56

Ответ

x = 28,56

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 30,72

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

город: 100·32/160 = 20, 100·72/160 = 45, 100·56/160 = 35

село: 60·32/160 = 12, 60·72/160 = 27, 60·56/160 = 21

Статистика хи-квадрат

χ² = (17 − 20)²/20 + (32 − 45)²/45 + (51 − 35)²/35 + (15 − 12)²/12 + (40 − 27)²/27 + (5 − 21)²/21

χ² = 30,72

Ответ

χ² = 30,72

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 0,2667

Ожидаемые частоты

линия 1: 30, 10

линия 2: 30, 10

линия 3: 45, 15

Статистика хи-квадрат

χ² = (31 − 30)²/30 + (9 − 10)²/10 + (29 − 30)²/30 + (11 − 10)²/10 + (45 − 45)²/45 + (15 − 15)²/15

χ² = 0,2667

Решение

df = 2, χ²_crit = 5,991

0,2667 < 5,991

Ответ

χ² = 0,2667

χ² меньше критического значения, поэтому H₀ не отвергается: значимых свидетельств связи нет.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology