Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Почему категории поведения при наблюдении операционализируют до сбора данных?

AЧтобы наблюдение превратилось в эксперимент
BЧтобы участники точно знали, что регистрируется
CЧтобы гипотезу можно было изменить после просмотра данных
DЧтобы наблюдатели согласованно регистрировали одно и то же поведение, повышая надёжность

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь измеряет влияние шума на концентрацию. Участников в условии с шумом случайно тестировали утром, а в условии тишины — днём. В чём проблема?

AДанные номинальные
BВ исследовании слишком много условий
CВремя суток — зависимая переменная
DВремя суток — смешивающая переменная

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 40, 42, 55, 45, 59.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений меньше 82?

μ = 100σ = 12x = 82

P =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,35, 0,35, 0,1, 0,2

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 3X + 20. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,2, 0,3, 0,25Y = 3X + 20

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 12 min и стандартным отклонением 1,5 min; Y независима и нормальна со средним 20 min и стандартным отклонением 2 min. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 30 min. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 30 min

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Рост мужчин X и женщин Y в группе независимы и нормально распределены: X имеет среднее 180 cm и стандартное отклонение 10 cm, Y имеет среднее 170 cm и стандартное отклонение 12 cm. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

9.Доверительные интервалыСредняя

У 15 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее −5,9 и стандартное отклонение 0,8. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для средней разности.

n = 15d̄ = −5,9s_d = 0,890%t(14) = 1,761

нижняя граница = mmHg

10.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 13 участков, средний урожай 80,5 kg, стандартное отклонение 5,5 kg. Группа участков 2: 18 участков, среднее 82,5 kg, стандартное отклонение 6 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 13x̄₁ = 80,5s₁ = 5,5n₂ = 18x̄₂ = 82,5s₂ = 695%t(29) = 2,045

E = kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 80,44 и выборочное стандартное отклонение 15. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 80,44s = 15n = 64

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 100 измерений имеет среднее 119. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 5. Найдите верхнюю границу U 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 119σ = 5n = 10090%

U =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 25Σy = 306Σx² = 135Σy² = 19004Σxy = 1582

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (7, 16). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(7, 16)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 2002 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 2 строками и 4 столбцами (не считая итогов). По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Чтобы наблюдатели согласованно регистрировали одно и то же поведение, повышая надёжность

Почему это ответ

Чёткие наблюдаемые категории (например, «бьёт открытой ладонью») уменьшают субъективность суждений и повышают надёжность между наблюдателями.

Ответ

D · Чтобы наблюдатели согласованно регистрировали одно и то же поведение, повышая надёжность

2.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Время суток — смешивающая переменная

Почему это ответ

Поскольку шум и время тестирования меняются вместе, любое различие может быть вызвано любым из них. Случайное распределение времени тестирования или его фиксация устранили бы конфаунд.

Ответ

D · Время суток — смешивающая переменная

3.Описательная статистика

Ответ: s = 8,349

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 241/5 = 48,2

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−8,2)² + (−6,2)² + 6,8² + (−3,2)² + 10,8² = 278,8

Стандартное отклонение

s = √(278,8/4) = 8,349

Ответ

s = 8,349

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,06681

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблица нормального распределения

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 0,06681

Ответ

P = 0,06681

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,228

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,1 + 4·0,2 = 2,15

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,1 + 16·0,2 = 5,85

Дисперсия

Var(X) = 5,85 − 2,15² = 1,228

Ответ

Var(X) = 1,228

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 33,51

Разброс X

μ = 25,5, Var(X) = 124,8, σ_X = 11,17

Линейное преобразование

σ_Y = |3|·11,17 = 33,51

Ответ

σ_Y = 33,51

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 3·25,5 + 20 = 96,5.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (30 − 32)/2,5 = −0,8

Верхний хвост

P = 1 − Φ(−0,8) = 1 − 0,2119 = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

8.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7389

Распределение разности

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Ответ

P = 0,7389

9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −6,264 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 14, t = 1,761

Предельная ошибка

E = 1,761·0,8/√15 = 0,3638

Интервал

−5,9 ± 0,3638 → [−6,264, −5,536]

Ответ

нижняя граница = −6,264 mmHg

10.Доверительные интервалы

Ответ: E = 4,316 kg

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (12·5,5² + 17·6²)/29 = 33,62

s_p = 5,798

Предельная ошибка

E = 2,045·5,798·√(1/13 + 1/18) = 4,316

Ответ

E = 4,316 kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,901

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Статистика критерия

t = (80,44 − 75)/1,875 = 2,901

Ответ

t = 2,901

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 119,8

Предельная ошибка

E = 1,645·5/√100 = 0,8225

Граница интервала

U = 119 + 0,8225 = 119,8

Ответ

U = 119,8

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9884

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 1582 − 25·306/5 = 52

S_xx = 135 − 25²/5 = 10

S_yy = 19004 − 306²/5 = 276,8

Коэффициент корреляции

r = 52/√(10·276,8) = 0,9884

Ответ

r = 0,9884

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −4,6

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 91/5 = 18,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 96

Линия регрессии

b = 96/40 = 2,4

a = 18,2 − 2,4·6 = 3,8

ŷ = 3,8 + 2,4·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 3,8 + 2,4·7 = 20,6

Остаток

e = 16 − 20,6 = −4,6

Ответ

e = −4,6

Точка лежит ниже прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 4,125

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

курящие: 80·110/200 = 44, 80·90/200 = 36

некурящие: 120·110/200 = 66, 120·90/200 = 54

Статистика хи-квадрат

χ² = (51 − 44)²/44 + (29 − 36)²/36 + (59 − 66)²/66 + (61 − 54)²/54

χ² = 4,125

Ответ

χ² = 4,125

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 7,815

Степени свободы

df = (2 − 1)·(4 − 1) = 3

Таблица

χ²_crit(df = 3, α = 0,05) = 7,815

Ответ

χ²_crit = 7,815

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology