Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Какая статистика подходит для связи между двумя наборами рангов, например ранжированиями картин судьями?

At-критерий для независимых выборок
BХи-квадрат
CРо Спирмена
Dr Пирсона

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследование на 10 участниках обнаруживает большой, но незначимый эффект. Какой вывод наиболее уместен?

AЭффект обязательно является ошибкой I рода
BИсследование доказывает, что нулевая гипотеза верна, так как эффект был незначим
CВеличина эффекта обязательно рассчитана неверно
DИсследованию, возможно, не хватило статистической мощности, поэтому результат неубедителен

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 46, 50, 58, 25, 12.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 50 и стандартным отклонением 10. Какая доля P значений меньше 65?

μ = 50σ = 10x = 65

P =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,35, 0,2, 0,15

σ =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 2X + 10. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,35, 0,35, 0,05Y = 2X + 10

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,9651. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9651

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 10% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 250 gσ = 5 g10%

x = g

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 12 элементов имеет среднее 105,5 и стандартное отклонение s = 4,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 12x̄ = 105,5s = 4,595%t(11) = 2,201

нижняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 22. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 22E = 1,590%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 60 деталей имеет среднюю длину 77,5 mm, известное стандартное отклонение линии 17 mm. Линия 2: выборка из 30 деталей имеет среднее 86 mm, известное стандартное отклонение 20 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 60x̄₁ = 77,5 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 30x̄₂ = 86 mmσ₂ = 20 mm

z =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 3 единиц с мощностью 90 %. Стандартное отклонение равно 16. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 90%δ = 3σ = 16z_α = 1,645z_β = 1,282

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (4, 51). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(4, 51)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1002 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,05, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 1403 × 2α = 0,05

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Ро Спирмена

Почему это ответ

Ранговая корреляция Спирмена измеряет силу монотонной связи между двумя ранжированными или порядковыми переменными.

Ответ

C · Ро Спирмена

2.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Исследованию, возможно, не хватило статистической мощности, поэтому результат неубедителен

Почему это ответ

На малых выборках даже реальные эффекты часто не достигают значимости (ошибка II рода). Исследователям следует указать величину эффекта и доверительный интервал и повторить исследование на большей выборке.

Ответ

D · Исследованию, возможно, не хватило статистической мощности, поэтому результат неубедителен

3.Описательная статистика

Ответ: s = 19,06

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 191/5 = 38,2

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 7,8² + 11,8² + 19,8² + (−13,2)² + (−26,2)² = 1453

Стандартное отклонение

s = √(1453/4) = 19,06

Ответ

s = 19,06

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9332

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблица нормального распределения

Φ(1,5) = 0,9332

P = 0,9332

Ответ

P = 0,9332

5.Вероятность

Ответ: σ = 2,059

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,3 + 2·0,35 + 4·0,2 + 6·0,15 = 2,4

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,3 + 4·0,35 + 16·0,2 + 36·0,15 = 10

Дисперсия

Var(X) = 10 − 2,4² = 4,24

σ = √4,24 = 2,059

Ответ

σ = 2,059

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 1,744

Разброс X

μ = 1,2, Var(X) = 0,76, σ_X = 0,8718

Линейное преобразование

σ_Y = |2|·0,8718 = 1,744

Ответ

σ_Y = 1,744

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 2·1,2 + 10 = 12,4.

7.Нормальное распределение

Ответ: z = 2,11

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,9651)/2 = 0,9826

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9826 внутри таблицы и считайте z.

z = 2,11

Ответ

z = 2,11

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 256,4 g

Площадь слева

Φ(z) = 0,9

z из таблицы

z ≈ 1,28

Возврат к исходным единицам

x = 250 + 1,28·5 = 256,4 g

Ответ

x = 256,4 g

9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 102,6

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 11, t = 2,201

Предельная ошибка

E = 2,201·4,5/√12 = 2,859

Интервал

105,5 ± 2,859 → [102,6, 108,4]

Ответ

нижняя граница = 102,6

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 583

Выразите n

n = (1,645·22/1,5)² = 582,1

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 583

Ответ

n = 583

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,995

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(17²/60 + 20²/30) = √18,15 = 4,26

Статистика критерия

z = (77,5 − 86)/4,26 = −1,995

Ответ

z = −1,995

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 244

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 1,282)·16/3)² = 243,7

Округлите вверх

n = 244

Ответ

n = 244

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9766

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 95/5 = 19

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 64

Коэффициент детерминации

r² = −25²/(10·64) = 0,9766

Ответ

r² = 0,9766

Прямая объясняет около 97,66% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −4,8

Средние

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 295/5 = 59

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

Линия регрессии

b = 128/40 = 3,2

a = 59 − 3,2·5 = 43

ŷ = 43 + 3,2·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 43 + 3,2·4 = 55,8

Остаток

e = 51 − 55,8 = −4,8

Ответ

e = −4,8

Точка лежит ниже прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 1

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

дневная смена: 40·50/100 = 20, 40·25/100 = 10, 40·25/100 = 10

ночная смена: 60·50/100 = 30, 60·25/100 = 15, 60·25/100 = 15

Статистика хи-квадрат

χ² = (22 − 20)²/20 + (8 − 10)²/10 + (10 − 10)²/10 + (28 − 30)²/30 + (17 − 15)²/15 + (15 − 15)²/15

χ² = 1

Ответ

χ² = 1

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 7,257

Ожидаемые частоты

возраст 18–30: 24, 16

возраст 31–50: 36, 24

возраст 51+: 24, 16

Статистика хи-квадрат

χ² = (22 − 24)²/24 + (18 − 16)²/16 + (31 − 36)²/36 + (29 − 24)²/24 + (31 − 24)²/24 + (9 − 16)²/16

χ² = 7,257

Решение

df = 2, χ²_crit = 5,991

7,257 > 5,991

Ответ

χ² = 7,257

χ² больше критического значения, поэтому H₀ отвергается: переменные, по-видимому, связаны.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology