Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

В идеально нормальном распределении:

AМода — наименьшее значение
BСреднее, медиана и мода равны
CБольшинство значений лежит в «хвостах»
DСреднее всегда больше медианы

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь хочет показать, что новая шкала тревожности измеряет нечто отличное от депрессии. Низкие корреляции со шкалой депрессии подтвердили бы:

AОчевидную валидность
BКонвергентную валидность
CДискриминантную валидность
DПрогностическую валидность

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 34, 26, 10, 45, 29.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 75.

μ = 60σ = 15x = 75

z =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,2, 0,3, 0,1, 0,15

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

Игра стоит €5. Вы выигрываете €20 с вероятностью 0,15 и €100 с вероятностью 0,01; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €5€20: p = 0,15€100: p = 0,01

E(G) = €

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь между −z и z под стандартной нормальной кривой была равна 0,9700. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9700

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 85% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h85%

x = h

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 7 элементов имеет среднее 12 и стандартное отклонение s = 18. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 7x̄ = 12s = 1899%t(6) = 3,707

E =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 40. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 40E = 1,599%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

20 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна −7,83, стандартное отклонение разностей — 10,3. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μ_d = 0.

n = 20d̄ = −7,83s_d = 10,3

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 25 из 100 пациентов, получавших лечение A, и 9 из 80 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 25n₁ = 100x₂ = 9n₂ = 80

z =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 11.

n = 6x = 11

ŷ =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1202 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 2 строками и 2 столбцами (не считая итогов). По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Среднее, медиана и мода равны

Почему это ответ

Нормальное распределение симметрично и имеет колоколообразную форму, поэтому все три меры центральной тенденции находятся в центре.

Ответ

B · Среднее, медиана и мода равны

2.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Дискриминантную валидность

Почему это ответ

Дискриминантная (дивергентная) валидность подтверждается, когда методика слабо коррелирует с методиками других конструктов. Конвергентная валидность — высокая корреляция с методиками того же конструкта.

Ответ

C · Дискриминантную валидность

3.Описательная статистика

Ответ: s = 12,76

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 144/5 = 28,8

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 5,2² + (−2,8)² + (−18,8)² + 16,2² + 0,2² = 650,8

Стандартное отклонение

s = √(650,8/4) = 12,76

Ответ

s = 12,76

4.Описательная статистика

Ответ: z = 1

Стандартизуйте

z = (75 − 60)/15 = 1

Ответ

z = 1

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,81

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,25 + 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,1 + 4·0,15 = 1,7

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,1 + 16·0,15 = 4,7

Дисперсия

Var(X) = 4,7 − 1,7² = 1,81

Ответ

Var(X) = 1,81

6.Вероятность

Ответ: E(G) = −1 €

Чистые исходы

G: 15 (p = 0,15), 95 (p = 0,01), −5 (p = 0,84)

Математическое ожидание

E(G) = 15·0,15 + 95·0,01 − 5·0,84 = −1 €

Ответ

E(G) = −1 €

Отрицательное значение означает, что в среднем вы теряете деньги.

7.Нормальное распределение

Ответ: z = 2,17

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = (1 + 0,9700)/2 = 0,9850

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,9850 внутри таблицы и считайте z.

z = 2,17

Ответ

z = 2,17

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 542 h

Площадь слева

Φ(z) = 0,85

z из таблицы

z ≈ 1,04

Возврат к исходным единицам

x = 500 + 1,04·40 = 542 h

Ответ

x = 542 h

9.Доверительные интервалы

Ответ: E = 25,22

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 6, t = 3,707

Предельная ошибка

E = 3,707·18/√7 = 25,22

Ответ

E = 25,22

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 4719

Выразите n

n = (2,576·40/1,5)² = 4719

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 4719

Ответ

n = 4719

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −3,4

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

Стандартная ошибка средней разности

SE = 10,3/√20 = 2,303

Статистика критерия

t = −7,83/2,303 = −3,4

Ответ

t = −3,4

При df = 19 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,093; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 2,342

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 25/100 = 0,25

p̂₂ = 9/80 = 0,1125

p̂ = 34/180 = 0,1889

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,1889·0,8111·(1/100 + 1/80)) = 0,05871

Статистика критерия

z = (0,25 − 0,1125)/0,05871 = 2,342

Ответ

z = 2,342

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9482

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 138/6 = 23

ȳ = 393/6 = 65,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 305

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1402

Коэффициент детерминации

r² = 305²/(70·1402) = 0,9482

Ответ

r² = 0,9482

Прямая объясняет около 94,82% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 79,33

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 381/6 = 63,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 277

Линия регрессии

b = 277/70 = 3,957

a = 63,5 − 3,957·7 = 35,8

ŷ = 35,8 + 3,957·x

Прогноз

ŷ = 35,8 + 3,957·11 = 79,33

Ответ

ŷ = 79,33

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 7,719

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

дневная смена: 80·36/120 = 24, 80·36/120 = 24, 80·48/120 = 32

ночная смена: 40·36/120 = 12, 40·36/120 = 12, 40·48/120 = 16

Статистика хи-квадрат

χ² = (21 − 24)²/24 + (20 − 24)²/24 + (39 − 32)²/32 + (15 − 12)²/12 + (16 − 12)²/12 + (9 − 16)²/16

χ² = 7,719

Ответ

χ² = 7,719

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 3,841

Степени свободы

df = (2 − 1)·(2 − 1) = 1

Таблица

χ²_crit(df = 1, α = 0,05) = 3,841

Ответ

χ²_crit = 3,841

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology