Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Эксперты проверяют, охватывают ли задания экзамена по математике все темы программы. Это оценка:

AПрогностической валидности
BРетестовой надёжности
CСодержательной валидности
DЭкологической валидности

2.Методы исследования в психологииСложная

Два наблюдателя регистрируют агрессивные действия на игровой площадке, и их подсчёты коррелируют на уровне r = 0,45. Что должен сделать исследователь?

AПринять данные, потому что достаточно любой положительной корреляции
BУточнить категории поведения и обучить наблюдателей, затем снова проверить согласованность
CПерейти к односторонней гипотезе
DИспользовать только больший из двух подсчётов

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 49, 15, 14, 33, 39.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений больше 42?

μ = 60σ = 15x = 42

P =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = −2X + 5. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,05, 0,35, 0,35, 0,25Y = −2X + 5

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 92,5 и 118 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 92,5x₂ = 118

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «значения роста взрослых мужчин» нормальное: среднее 178 cm, стандартное отклонение 7 cm. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 20% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 178 cmσ = 7 cm20%

x = cm

9.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 40 телефонов, среднее 99,5 h, известное стандартное отклонение 19 h. Модель 2: 50 телефонов, среднее 102 h, известное стандартное отклонение 15 h. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 99,5 hσ₁ = 19 hn₂ = 50x̄₂ = 102 hσ₂ = 15 h99%

верхняя граница = h

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 6. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?

σ = 6E = 0,590%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 80; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 24. Случайная выборка из 64 наблюдений имеет среднее 72,68. Проверьте H₀: μ = 80 против H₁: μ < 80. Найдите p-значение p.

μ₀ = 80σ = 24n = 64x̄ = 72,68H₁: μ < μ₀

p =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 99 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 0,5? Стандартное отклонение — 15. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 15E = 0,599%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 48Σy = 494Σx² = 454Σy² = 43066Σxy = 4360

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 5.

n = 5x = 5

ŷ =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1602 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 6 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 6

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Содержательной валидности

Почему это ответ

Содержательная валидность — степень, в которой методика охватывает все существенные аспекты конструкта; обычно её оценивают эксперты.

Ответ

C · Содержательной валидности

2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Уточнить категории поведения и обучить наблюдателей, затем снова проверить согласованность

Почему это ответ

Низкая надёжность между наблюдателями означает, что категории применяются непоследовательно. Более чёткие операциональные определения и тренировочные сеансы должны повысить согласованность до основного сбора данных.

Ответ

B · Уточнить категории поведения и обучить наблюдателей, затем снова проверить согласованность

3.Описательная статистика

Ответ: s = 15,26

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 150/5 = 30

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 19² + (−15)² + (−16)² + 3² + 9² = 932

Стандартное отклонение

s = √(932/4) = 15,26

Ответ

s = 15,26

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8849

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблица нормального распределения

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Ответ

P = 0,8849

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 0,7

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Дисперсия

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

Ответ

Var(X) = 0,7

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 17,44

Разброс X

μ = 28, Var(X) = 76, σ_X = 8,718

Линейное преобразование

σ_Y = |−2|·8,718 = 17,44

Ответ

σ_Y = 17,44

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = −2·28 + 5 = −51.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,5764

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (92,5 − 100)/15 = −0,5

z₂ = (118 − 100)/15 = 1,2

Площадь между

P = Φ(1,2) − Φ(−0,5) = 0,8849 − 0,3085 = 0,5764

Ответ

P = 0,5764

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 183,9 cm

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,8

z из таблицы

z ≈ 0,84

Возврат к исходным единицам

x = 178 + 0,84·7 = 183,9 cm

Ответ

x = 183,9 cm

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 6,974 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 99,5 − 102 = −2,5

Стандартная ошибка

SE = √(19²/40 + 15²/50) = 3,678

Предельная ошибка

E = 2,576·3,678 = 9,474

Интервал

−2,5 ± 9,474 → [−11,97, 6,974]

Ответ

верхняя граница = 6,974 h

Интервал содержит 0, поэтому данные не показывают значимого различия.

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 390

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,645·6/0,5)² = 389,7

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 390

Ответ

n = 390

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,007344

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 24/√64 = 3

z = (72,68 − 80)/3 = −2,44

Площадь хвоста

Φ(2,44) = 0,9927

1 − Φ(2,44) = 0,0073

p-значение

p = 0,007344

Ответ

p = 0,007344

p ≤ 0,05, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 %.

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 5973

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Выразите n

n = (2,576·15/0,5)² = 5972

Округлите вверх

n = 5973

Ответ

n = 5973

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9968

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 4360 − 48·494/6 = 408

S_xx = 454 − 48²/6 = 70

S_yy = 43066 − 494²/6 = 2393

Коэффициент корреляции

r = 408/√(70·2393) = 0,9968

Ответ

r = 0,9968

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 10,55

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 62/5 = 12,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74

Линия регрессии

b = 74/40 = 1,85

a = 12,4 − 1,85·6 = 1,3

ŷ = 1,3 + 1,85·x

Прогноз

ŷ = 1,3 + 1,85·5 = 10,55

Ответ

ŷ = 10,55

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 1,055

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

новый препарат: 60·56/160 = 21, 60·104/160 = 39

плацебо: 100·56/160 = 35, 100·104/160 = 65

Статистика хи-квадрат

χ² = (18 − 21)²/21 + (42 − 39)²/39 + (38 − 35)²/35 + (62 − 65)²/65

χ² = 1,055

Ответ

χ² = 1,055

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 5

Степени свободы

df = 6 − 1 = 5

Ответ

df = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology