Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Одни и те же 25 участников проходят тест памяти до и после кофеина. Данные интервальные и примерно нормальные. Какой критерий подходит?

At-критерий для парных (связанных) выборок
BU-критерий Манна — Уитни
Ct-критерий для независимых выборок
DКритерий хи-квадрат

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь собирает данные в девяти временных точках и каждый раз проверяет на уровне 5% без поправки. В чём проблема?

AУ такого подхода нет проблем
BДанные с каждым разом становятся надёжнее, поэтому итоговый тест самый точный
CРазмер эффекта уменьшается с каждым тестом
DВероятность хотя бы одного ложноположительного результата намного превышает 5%

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 21, 17, 18, 50, 23.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 20. Найдите z-оценку z для результата 95.

μ = 70σ = 20x = 95

z =

5.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 3 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 3

P =

6.ВероятностьСложная

Испытывают 9 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,3. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 9p = 0,3

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 12 min и стандартным отклонением 1,5 min; Y независима и нормальна со средним 20 min и стандартным отклонением 2 min. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 34 min. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 34 min

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 25% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 250 gσ = 5 g25%

x = g

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 элементов имеет среднее 41 и стандартное отклонение s = 17. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 16x̄ = 41s = 1795%t(15) = 2,131

верхняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 14. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2?

σ = 14E = 295%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 52,1 и выборочное стандартное отклонение 8. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 52,1s = 8n = 64

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 100 измерений имеет среднее 499. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 4. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 499σ = 4n = 10099%

L =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (4,5, 48). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(4,5, 48)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «студенты, автобус».

итог по строке = 87итог по столбцу = 51N = 157

E =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 8 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 8

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: A · t-критерий для парных (связанных) выборок

Почему это ответ

Парный t-критерий сравнивает средние одних и тех же участников в двух условиях, используя разности внутри каждого человека.

Ответ

A · t-критерий для парных (связанных) выборок

2.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Вероятность хотя бы одного ложноположительного результата намного превышает 5%

Почему это ответ

При девяти независимых тестах вероятность хотя бы одной ошибки I рода составляет примерно 1 − 0,95⁹ ≈ 37%. Для этого применяют поправки, например Бонферрони.

Ответ

D · Вероятность хотя бы одного ложноположительного результата намного превышает 5%

3.Описательная статистика

Ответ: s = 13,74

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 129/5 = 25,8

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−4,8)² + (−8,8)² + (−7,8)² + 24,2² + (−2,8)² = 754,8

Стандартное отклонение

s = √(754,8/4) = 13,74

Ответ

s = 13,74

4.Описательная статистика

Ответ: z = 1,25

Стандартизуйте

z = (95 − 70)/20 = 1,25

Ответ

z = 1,25

5.Вероятность

Ответ: P = 0,4213

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Ответ

P = 0,4213

6.Вероятность

Ответ: P = 0,196

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,7⁹ = 0,04035

P(X = 1) = 9·0,3·0,7⁸ = 0,1556

Сложите

P = 0,04035 + 0,1556 = 0,196

Ответ

P = 0,196

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,2119

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

Стандартизуйте

z = (34 − 32)/2,5 = 0,8

Верхний хвост

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Ответ

P = 0,2119

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 246,7 g

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,25

z из таблицы

z ≈ −0,67

Возврат к исходным единицам

x = 250 − 0,67·5 = 246,7 g

Ответ

x = 246,7 g

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 50,06

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 15, t = 2,131

Предельная ошибка

E = 2,131·17/√16 = 9,057

Интервал

41 ± 9,057 → [31,94, 50,06]

Ответ

верхняя граница = 50,06

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 189

Выразите n

n = (1,96·14/2)² = 188,2

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 189

Ответ

n = 189

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 2,1

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

Статистика критерия

t = (52,1 − 50)/1 = 2,1

Ответ

t = 2,1

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| > 1,998, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 498

Предельная ошибка

E = 2,576·4/√100 = 1,03

Граница интервала

L = 499 − 1,03 = 498

Ответ

L = 498

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,8921

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 255/5 = 51

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 172

Коэффициент корреляции

r = 74/√(40·172) = 0,8921

Ответ

r = 0,8921

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 5,35

Средние

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 221/5 = 44,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 31

Линия регрессии

b = 31/10 = 3,1

a = 44,2 − 3,1·5 = 28,7

ŷ = 28,7 + 3,1·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 28,7 + 3,1·4,5 = 42,65

Остаток

e = 48 − 42,65 = 5,35

Ответ

e = 5,35

Точка лежит выше прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 28,26

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 87·51/157 = 28,26

Ответ

E = 28,26

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 6

Степени свободы

df = 8 − 1 − 1 = 6

Ответ

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology