Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие
P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Какой критерий сравнивает две независимые группы, когда данные порядковые или явно не нормальные?

  1. AU-критерий Манна — Уитни
  2. BКритерий хи-квадрат
  3. CКритерий знаковых рангов Уилкоксона
  4. Dt-критерий для независимых выборок
2.Методы исследования в психологииСложная

Меры размера эффекта, например d Коэна, сообщают потому, что они:

  1. AУказывают, сколько участников выбыло
  2. BПоказывают, насколько велик эффект, независимо от объёма выборки
  3. CПоказывают, статистически ли значим результат при выбранном уровне альфа
  4. DОтменяют необходимость в какой-либо гипотезе
3.Описательная статистикаСредняя
3035404550

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 35, 51, 49, 29, 28, 26, 46.

n = 7
s =
4.Описательная статистикаСложная
z −2−1012

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 56.

μ = 50σ = 15x = 56
z =
5.ВероятностьСредняя
P(хотя бы одна шестёрка) = ??1?2?3?4?5?6?7P(шестёрка) = 1/6 при каждом броске

Правильный кубик бросают 7 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 7
P =
6.ВероятностьСложная
n = 12, p = 0,2: P(X ≤ 1) = ?k0123456789101112

Испытывают 12 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,2. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 12p = 0,2
P =
7.Нормальное распределениеСредняя
92,5127P = ?

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 92,5 и 127 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x1 = 92,5x2 = 127
P =
8.Нормальное распределениеСложная
4 s0X − Y?

Время круга X бегуна A и время круга Y бегуна B независимы и нормально распределены: X имеет среднее 52 s и стандартное отклонение 4 s, Y имеет среднее 48 s и стандартное отклонение 3 s. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
9.Доверительные интервалыСредняя
n = 10, s = 11LUx̄ = 61E = ?95%

Выборка из 10 элементов имеет среднее 61 и стандартное отклонение s = 11. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 10x̄ = 61s = 1195%t(9) = 2,262
E =
10.Доверительные интервалыСложная
σ = 28, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 28. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 28E = 190%
n =
11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
−1,141,14p = ?

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 500; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 36. Случайная выборка из 144 наблюдений имеет среднее 503,42. Проверьте H₀: μ = 500 против H₁: μ ≠ 500. Найдите p-значение p.

μ₀ = 500σ = 36n = 144x̄ = 503,42H₁: μ ≠ μ₀
p =
12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
μ₀x̄c

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 200 против H₁: μ < 200 проводится при α = 0.10 по выборке объёмом 36; стандартное отклонение известно и равно 12. В действительности среднее равно 196.4. Найдите мощность 1 − β критерия в процентах.

μ₀ = 200μ = 196,4σ = 12n = 36α = 0,10
1 − β = %
13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy245345448552654750xy246455055

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6
r =
14.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy2274376438451055xy510304050x = 9

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 9.

n = 5x = 9
ŷ =
15.Критерии хи-квадратСредняя
автобусвелосипедавтомобильИтогостуденты593031120сотрудники31151460Итого904545180

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1802 × 3
χ² =
16.Критерии хи-квадратСложная
данетИтоговозраст 18–30382260возраст 31–50443680возраст 51+3862100Итого120120240dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,01, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2403 × 2α = 0,01
χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: A · U-критерий Манна — Уитни

Почему это ответ

U-критерий Манна — Уитни сравнивает ранги двух несвязанных групп. Критерий знаковых рангов Уилкоксона предназначен для связанных выборок.

Ответ

A · U-критерий Манна — Уитни
2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Показывают, насколько велик эффект, независимо от объёма выборки

Почему это ответ

В больших выборках даже крошечные эффекты могут быть значимыми. Размер эффекта выражает величину различия, напр. d = 0,2 малый, 0,5 средний, 0,8 большой.

Ответ

B · Показывают, насколько велик эффект, независимо от объёма выборки
3.Описательная статистика

Ответ: s = 10,7

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 264/7 = 37,71

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−2,714)² + 13,29² + 11,29² + (−8,714)² + (−9,714)² + (−11,71)² + 8,286² = 687,4

Стандартное отклонение

s = √(687,4/6) = 10,7

Ответ

s = 10,7
4.Описательная статистика

Ответ: z = 0,4

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Стандартизуйте

z = (56 − 50)/15 = 0,4

Ответ

z = 0,4
5.Вероятность

Ответ: P = 0,7209

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)7 = 0,2791
P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Ответ

P = 0,7209
6.Вероятность

Ответ: P = 0,2749

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,812 = 0,06872
P(X = 1) = 12·0,2·0,811 = 0,2062

Сложите

P = 0,06872 + 0,2062 = 0,2749

Ответ

P = 0,2749
7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6555

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (92,5 − 100)/15 = −0,5
z₂ = (127 − 100)/15 = 1,8

Площадь между

P = Φ(1,8) − Φ(−0,5) = 0,9641 − 0,3085 = 0,6555

Ответ

P = 0,6555
8.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Ответ

P = 0,7881
9.Доверительные интервалы

Ответ: E = 7,868

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Предельная ошибка

E = 2,262·11/√10 = 7,868

Ответ

E = 7,868
10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 2122

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,645·28/1)² = 2122

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 2122

Ответ

n = 2122
11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,2543

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 36/√144 = 3
z = (503,42 − 500)/3 = 1,14

Площадь хвоста

Φ(1,14) = 0,8729
1 − Φ(1,14) = 0,1271

p-значение

p = 2·0,1271 = 0,2543

Ответ

p = 0,2543

p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: 1 − β = 69,78 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 12/√36 = 2
x̄c = 200 − 1,282·2 = 197,4

z при истинном среднем

z = (197,4 − 196,4)/2 = 0,518

Мощность

мощность = P(Z < 0.518) = 69.78%
1 − β = 69,78%

Ответ

1 − β = 69,78%
13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,8117

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 27/6 = 4,5
ȳ = 294/6 = 49

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 28
Syy = Σ(y − ȳ)² = 68

Коэффициент корреляции

r = 28/√(17,5·68) = 0,8117

Ответ

r = 0,8117
14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 51

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 207/5 = 41,4

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 128

Линия регрессии

b = 128/40 = 3,2
a = 41,4 − 3,2·6 = 22,2
ŷ = 22,2 + 3,2·x

Прогноз

ŷ = 22,2 + 3,2·9 = 51

Ответ

ŷ = 51
15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 0,15

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

студенты: 120·90/180 = 60, 120·45/180 = 30, 120·45/180 = 30
сотрудники: 60·90/180 = 30, 60·45/180 = 15, 60·45/180 = 15

Статистика хи-квадрат

χ² = (59 − 60)²/60 + (30 − 30)²/30 + (31 − 30)²/30 + (31 − 30)²/30 + (15 − 15)²/15 + (14 − 15)²/15
χ² = 0,15

Ответ

χ² = 0,15

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 10,83

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

возраст 18–30: 30, 30
возраст 31–50: 40, 40
возраст 51+: 50, 50

Статистика хи-квадрат

χ² = (38 − 30)²/30 + (22 − 30)²/30 + (44 − 40)²/40 + (36 − 40)²/40 + (38 − 50)²/50 + (62 − 50)²/50
χ² = 10,83

Решение

df = 2, χ²crit = 9,210
10,83 > 9,210

Ответ

χ² = 10,83

χ² больше критического значения, поэтому H₀ отвергается: переменные, по-видимому, связаны.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology