Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Исследование прошло предварительную регистрацию (preregistration). Это означает, что:

AИсследование уже опубликовано
BГипотезы, методы и план анализа публично зафиксированы до сбора данных
CРезультаты проверены и одобрены вторым независимым статистиком до публикации
DУчастники регистрируют своё согласие онлайн

2.Методы исследования в психологииСложная

Пациенты, отобранные из-за крайне высоких показателей тревожности, при повторном тестировании показывают более низкие результаты даже без лечения. Каково наиболее вероятное объяснение?

AХоторнский эффект
BРегрессия к среднему
CЭффект потолка
DКонтрбалансировка

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 20, 54, 38, 45, 32, 17.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 158.

μ = 170σ = 8x = 158

z =

5.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 4 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 4

P =

6.ВероятностьСложная

В тесте 7 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,6, независимо. Какова вероятность P ровно 2 верных ответов?

n = 7p = 0,6k = 2

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,3483. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,3483

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,04 mm и стандартным отклонением 0,015 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,04 mm, σ = 0,015 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm

P =

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 11 элементов имеет среднее 41 и стандартное отклонение s = 1. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 11x̄ = 41s = 199%t(10) = 3,169

верхняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 9. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 9E = 2,595%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 15 студентов, средний балл 87, стандартное отклонение 12. Группа 2: 7 студентов, средний балл 83,3, стандартное отклонение 3. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 15x̄₁ = 87s₁ = 12n₂ = 7x̄₂ = 83,3s₂ = 3

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,01 должен обнаруживать сдвиг среднего на 1,5 единиц с мощностью 80 %. Стандартное отклонение равно 7. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,01мощность = 80%δ = 1,5σ = 7z_α = 2,326z_β = 0,842

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3, 6). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(3, 6)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1202 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,01, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2203 × 2α = 0,01

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Гипотезы, методы и план анализа публично зафиксированы до сбора данных

Почему это ответ

Предварительная регистрация разделяет подтверждающие и разведочные анализы и уменьшает такие практики, как p-hacking и HARKing.

Ответ

B · Гипотезы, методы и план анализа публично зафиксированы до сбора данных

2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Регрессия к среднему

Почему это ответ

Когда людей отбирают по экстремальным значениям, ошибка измерения и случайность приводят к тому, что их последующие результаты смещаются к среднему. Контрольные группы помогают отделить это от эффекта лечения.

Ответ

B · Регрессия к среднему

3.Описательная статистика

Ответ: s = 14,32

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 206/6 = 34,33

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−14,33)² + 19,67² + 3,667² + 10,67² + (−2,333)² + (−17,33)² = 1025

Стандартное отклонение

s = √(1025/5) = 14,32

Ответ

s = 14,32

4.Описательная статистика

Ответ: z = −1,5

Стандартизуйте

z = (158 − 170)/8 = −1,5

Ответ

z = −1,5

5.Вероятность

Ответ: P = 0,5177

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁴ = 0,4823

P = 1 − 0,4823 = 0,5177

Ответ

P = 0,5177

6.Вероятность

Ответ: P = 0,07741

Формула Бернулли

P(X = 2) = 21·0,6²·0,4⁵ = 21·0,36·0,01024 = 0,07741

Ответ

P = 0,07741

7.Нормальное распределение

Ответ: z = 0,39

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,3483 = 0,6517

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,6517 внутри таблицы и считайте z.

z = 0,39

Ответ

z = 0,39

8.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9868

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,04 − 25 = 0,04 mm, σ = 0,01803 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,04)/0,01803 = −2,22

Вероятность

P = 1 − Φ(−2,22) = 0,9868

Ответ

P = 0,9868

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 41,96

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Предельная ошибка

E = 3,169·1/√11 = 0,9555

Интервал

41 ± 0,9555 → [40,04, 41,96]

Ответ

верхняя граница = 41,96

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 50

Выразите n

n = (1,96·9/2,5)² = 49,79

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 50

Ответ

n = 50

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 0,7945

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (14·12² + 6·3²)/20 = 103,5

s_p = 10,17

Стандартная ошибка

SE = 10,17·√(1/15 + 1/7) = 4,657

Статистика критерия

t = (87 − 83,3)/4,657 = 0,7945

Ответ

t = 0,7945

При df = 20 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,086; |t| меньше, поэтому H₀ не отвергается.

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 219

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((2,326 + 0,842)·7/1,5)² = 218,6

Округлите вверх

n = 219

Ответ

n = 219

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9712

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 423/6 = 70,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 263

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1048

Коэффициент корреляции

r = 263/√(70·1048) = 0,9712

Ответ

r = 0,9712

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −2,5

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 89/5 = 17,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124

Линия регрессии

b = 124/40 = 3,1

a = 17,8 − 3,1·6 = −0,8

ŷ = −0,8 + 3,1·x

Прогнозируемое значение

ŷ = −0,8 + 3,1·3 = 8,5

Остаток

e = 6 − 8,5 = −2,5

Ответ

e = −2,5

Точка лежит ниже прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 5

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

курящие: 60·48/120 = 24, 60·72/120 = 36

некурящие: 60·48/120 = 24, 60·72/120 = 36

Статистика хи-квадрат

χ² = (18 − 24)²/24 + (42 − 36)²/36 + (30 − 24)²/24 + (30 − 36)²/36

χ² = 5

Ответ

χ² = 5

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 38,08

Ожидаемые частоты

завод A: 45, 15

завод B: 45, 15

завод C: 75, 25

Статистика хи-квадрат

χ² = (30 − 45)²/45 + (30 − 15)²/15 + (42 − 45)²/45 + (18 − 15)²/15 + (93 − 75)²/75 + (7 − 25)²/25

χ² = 38,08

Решение

df = 2, χ²_crit = 9,210

38,08 > 9,210

Ответ

χ² = 38,08

χ² больше критического значения, поэтому H₀ отвергается: переменные, по-видимому, связаны.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology