Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

В полевом эксперименте исследователь:

AМанипулирует НП в реальной обстановке
BАнализирует данные, собранные другими
CМанипулирует НП в лаборатории
DТолько наблюдает, ничем не манипулируя

2.Методы исследования в психологииСложная

Факультет психологии набирает участников только из вводных курсов психологии. Критики называют такие выборки «WEIRD». Что это означает?

AЗападные, образованные, индустриальные, богатые и демократические (Western, Educated, Industrialised, Rich, Democratic) выборки, результаты которых могут не обобщаться
BВыборки, необычно странные в своём поведении
CВыборки, набранные взвешенными случайными методами
DВыборки, рано выбывающие из исследований

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 42, 16, 20, 15, 14, 45.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 70 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений больше 52?

μ = 70σ = 15x = 52

P =

5.ВероятностьСредняя

В мешочке 5 красных и 3 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?

5 / 3

P =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 2X − 3. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,3, 0,25, 0,15, 0,3Y = 2X − 3

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Какая доля значений лежит между 438 и 574 h? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 500σ = 40x₁ = 438x₂ = 574

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Найдите значение x, ниже которого лежат 20 % значений (20-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 20%

x = cm

9.Доверительные интервалыСредняя

У 9 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее −6,2 и стандартное отклонение 3,4. Найдите нижнюю границу 95 % доверительного интервала для средней разности.

n = 9d̄ = −6,2s_d = 3,495%t(8) = 2,306

нижняя граница = mmHg

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 22. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 0,5?

σ = 22E = 0,595%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 80; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 18. Случайная выборка из 144 наблюдений имеет среднее 81,2. Проверьте H₀: μ = 80 против H₁: μ > 80. Найдите p-значение p.

μ₀ = 80σ = 18n = 144x̄ = 81,2H₁: μ > μ₀

p =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий при α = 0,05 должен обнаруживать сдвиг среднего на 5 единиц с мощностью 95 %. Стандартное отклонение равно 17. Найдите минимальный объём выборки n.

α = 0,05мощность = 95%δ = 5σ = 17z_α = 1,645z_β = 1,645

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 5,5.

n = 6x = 5,5

ŷ =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1402 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 4 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Манипулирует НП в реальной обстановке

Почему это ответ

Полевые эксперименты, например инсценированные ситуации помощи на улице, повышают экологическую валидность, но дают меньше контроля над посторонними переменными и порождают проблемы с согласием.

Ответ

A · Манипулирует НП в реальной обстановке

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Западные, образованные, индустриальные, богатые и демократические (Western, Educated, Industrialised, Rich, Democratic) выборки, результаты которых могут не обобщаться

Почему это ответ

Хенрих и коллеги отметили, что большинство участников психологических исследований происходят из обществ WEIRD, которые нерепрезентативны для человечества в целом, что угрожает популяционной валидности.

Ответ

A · Западные, образованные, индустриальные, богатые и демократические (Western, Educated, Industrialised, Rich, Democratic) выборки, результаты которых могут не обобщаться

3.Описательная статистика

Ответ: s = 14,25

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 152/6 = 25,33

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 16,67² + (−9,333)² + (−5,333)² + (−10,33)² + (−11,33)² + 19,67² = 1015

Стандартное отклонение

s = √(1015/5) = 14,25

Ответ

s = 14,25

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,8849

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблица нормального распределения

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 1 − 0,1151 = 0,8849

Ответ

P = 0,8849

5.Вероятность

Ответ: P = 0,3571

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Первое и второе извлечение

P = 5/8 · 4/7 = 20/56 = 0,3571

Ответ

P = 0,3571

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 4,812

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 2,9, Var(X) = 5,79, σ_X = 2,406

Линейное преобразование

σ_Y = |2|·2,406 = 4,812

Ответ

σ_Y = 4,812

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 2·2,9 − 3 = 2,8.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9073

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (438 − 500)/40 = −1,55

z₂ = (574 − 500)/40 = 1,85

Площадь между

P = Φ(1,85) − Φ(−1,55) = 0,9678 − 0,06057 = 0,9073

Ответ

P = 0,9073

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 172,1 cm

z для процентиля

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Обратно к x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Ответ

x = 172,11 cm

9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −8,813 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 8, t = 2,306

Предельная ошибка

E = 2,306·3,4/√9 = 2,613

Интервал

−6,2 ± 2,613 → [−8,813, −3,587]

Ответ

нижняя граница = −8,813 mmHg

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 7438

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,96·22/0,5)² = 7437

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 7438

Ответ

n = 7438

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,2119

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 18/√144 = 1,5

z = (81,2 − 80)/1,5 = 0,8

Площадь хвоста

Φ(0,8) = 0,7881

1 − Φ(0,8) = 0,2119

p-значение

p = 0,2119

Ответ

p = 0,2119

p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 126

Объём выборки для критерия: чтобы обнаружить истинный сдвиг δ с мощностью 1 − β одностронним z-критерием на уровне α, стандартная ошибка должна удовлетворять δ = (z_α + z_β)·σ/√n, поэтому n = ((z_α + z_β)·σ/δ)² с округлением вверх.

Выразите n

n = ((1,645 + 1,645)·17/5)² = 125,1

Округлите вверх

n = 126

Ответ

n = 126

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9871

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 114/6 = 19

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 184

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 490

Коэффициент детерминации

r² = 184²/(70·490) = 0,9871

Ответ

r² = 0,9871

Прямая объясняет около 98,71% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 12,33

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 99/6 = 16,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −36,5

Линия регрессии

b = −36,5/17,5 = −2,086

a = 16,5 − (−2,086)·3,5 = 23,8

ŷ = 23,8 − 2,086·x

Прогноз

ŷ = 23,8 + (−2,086)·5,5 = 12,33

Ответ

ŷ = 12,33

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 20,16

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

мужчины: 100·70/140 = 50, 100·70/140 = 50

женщины: 40·70/140 = 20, 40·70/140 = 20

Статистика хи-квадрат

χ² = (38 − 50)²/50 + (62 − 50)²/50 + (32 − 20)²/20 + (8 − 20)²/20

χ² = 20,16

Ответ

χ² = 20,16

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 11,35

Степени свободы

df = 4 − 1 = 3

Таблица

χ²_crit(df = 3, α = 0,01) = 11,345

Ответ

χ²_crit = 11,345

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology