Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие
P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

В контент-анализе надёжность между оценщиками проверяют так:

  1. AМатериал кодируют дважды за один день
  2. BДвое исследователей кодируют один и тот же материал, и результаты сравнивают
  3. CПозднее спрашивают участников, правильно ли исследователь закодировал их материал
  4. DИспользуют более крупную выборку материалов
2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь измеряет влияние шума на концентрацию. Участников в условии с шумом случайно тестировали утром, а в условии тишины — днём. В чём проблема?

  1. AДанные номинальные
  2. BВремя суток — смешивающая переменная
  3. CВ исследовании слишком много условий
  4. DВремя суток — зависимая переменная
3.Описательная статистикаСредняя
25303540455055

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 44, 48, 22, 53, 59, 54.

n = 6
s =
4.Описательная статистикаСложная
z −2−1012

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 100 и стандартным отклонением 15. Найдите z-оценку z для результата 92,5.

μ = 100σ = 15x = 92,5
z =
5.ВероятностьСредняя
P(хотя бы одна шестёрка) = ??1?2?3P(шестёрка) = 1/6 при каждом броске

Правильный кубик бросают 3 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 3
P =
6.ВероятностьСложная
n = 11, p = 0,4: P(X ≤ 1) = ?k01234567891011

Испытывают 11 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,4. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 11p = 0,4
P =
7.Нормальное распределениеСредняя
48 kg49,6 kgT = X₁ + … + X₄?

Массы объектов (коробки) независимы и нормально распределены со средним 12 kg и стандартным отклонением 0,8 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 4 из них превышает 49,6 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 4> 49,6 kg
P =
8.Нормальное распределениеСложная
μ = 32x = ?20%

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 20 % значений (20-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 20%
x = min
9.Доверительные интервалыСредняя
n = 6, sd​ = 2,90L = ?Ud̄ = 3,3E99%

У 6 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 3,3 и стандартное отклонение 2,9. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для средней разности.

n = 6d̄ = 3,3sd = 2,999%t(5) = 4,032
нижняя граница = mmHg
10.Доверительные интервалыСложная
σ = 29, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2,590%

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 29. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 29E = 2,590%
n =
11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
1,16p = ?

Утверждается, что среднее генеральной совокупности равно 100; стандартное отклонение генеральной совокупности известно и равно 40. Случайная выборка из 100 наблюдений имеет среднее 104,64. Проверьте H₀: μ = 100 против H₁: μ > 100. Найдите p-значение p.

μ₀ = 100σ = 40n = 100x̄ = 104,64H₁: μ > μ₀
p =
12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
z −2,57602,576

Выборка из 36 измерений имеет среднее 44,2. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 12. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 44,2σ = 12n = 3699%
U =
13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy143249356462573677xy2466080

В таблице даны 6 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6
r =
14.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy123220320413515612xy2461520x = 4,5

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 4,5.

n = 6x = 4,5
ŷ =
15.Критерии хи-квадратСредняя
улучшениебез улучшенияИтогоновый препарат7743120плацебо312960Итого10872180

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1802 × 2
χ² =
16.Критерии хи-квадратСложная
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 10 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). По таблице найдите критическое значение χ²crit при уровне значимости α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Двое исследователей кодируют один и тот же материал, и результаты сравнивают

Почему это ответ

Если независимые кодировщики присваивают одним и тем же данным сходные коды (высокое согласие или корреляция), схема кодирования надёжна.

Ответ

B · Двое исследователей кодируют один и тот же материал, и результаты сравнивают
2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Время суток — смешивающая переменная

Почему это ответ

Поскольку шум и время тестирования меняются вместе, любое различие может быть вызвано любым из них. Случайное распределение времени тестирования или его фиксация устранили бы конфаунд.

Ответ

B · Время суток — смешивающая переменная
3.Описательная статистика

Ответ: s = 13,14

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 280/6 = 46,67

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−2,667)² + 1,333² + (−24,67)² + 6,333² + 12,33² + 7,333² = 863,3

Стандартное отклонение

s = √(863,3/5) = 13,14

Ответ

s = 13,14
4.Описательная статистика

Ответ: z = −0,5

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Стандартизуйте

z = (92,5 − 100)/15 = −0,5

Ответ

z = −0,5
5.Вероятность

Ответ: P = 0,4213

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)3 = 0,5787
P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Ответ

P = 0,4213
6.Вероятность

Ответ: P = 0,03023

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,611 = 0,003628
P(X = 1) = 11·0,4·0,610 = 0,02661

Сложите

P = 0,003628 + 0,02661 = 0,03023

Ответ

P = 0,03023
7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1587

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μX ± μY. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σX² + σY², поэтому σ = √(σX² + σY²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μT = 48 kg, σT = 0,8·√4 = 1,6 kg

Стандартизуйте

z = (49,6 − 48)/1,6 = 1

Вероятность

P = 1 − Φ(1) = 0,1587

Ответ

P = 0,1587
8.Нормальное распределение

Ответ: x = 26,95 min

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Обратно к x

x = 32 + −0,8416·6 = 26,95 min

Ответ

x = 26,95 min
9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −1,474 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 5, t = 4,032

Предельная ошибка

E = 4,032·2,9/√6 = 4,774

Интервал

3,3 ± 4,774 → [−1,474, 8,074]

Ответ

нижняя граница = −1,474 mmHg
10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 365

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,645·29/2,5)² = 364,1

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 365

Ответ

n = 365
11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: p = 0,123

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Статистика критерия

SE = σ/√n = 40/√100 = 4
z = (104,64 − 100)/4 = 1,16

Площадь хвоста

Φ(1,16) = 0,8770
1 − Φ(1,16) = 0,1230

p-значение

p = 0,123

Ответ

p = 0,123

p > 0,05, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 %.

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 49,35

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 2,576·12/√36 = 5,152

Граница интервала

U = 44,2 + 5,152 = 49,35

Ответ

U = 49,35
13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9947

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 360/6 = 60

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 124
Syy = Σ(y − ȳ)² = 888

Коэффициент корреляции

r = 124/√(17,5·888) = 0,9947

Ответ

r = 0,9947
14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 14,97

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 103/6 = 17,17

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −38,5

Линия регрессии

b = −38,5/17,5 = −2,2
a = 17,17 − (−2,2)·3,5 = 24,87
ŷ = 24,87 − 2,2·x

Прогноз

ŷ = 24,87 + (−2,2)·4,5 = 14,97

Ответ

ŷ = 14,97
15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 2,604

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

новый препарат: 120·108/180 = 72, 120·72/180 = 48
плацебо: 60·108/180 = 36, 60·72/180 = 24

Статистика хи-квадрат

χ² = (77 − 72)²/72 + (43 − 48)²/48 + (31 − 36)²/36 + (29 − 24)²/24
χ² = 2,604

Ответ

χ² = 2,604

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²crit = 16,92

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Степени свободы

df = 10 − 1 = 9

Таблица

χ²crit(df = 9, α = 0,05) = 16,919

Ответ

χ²crit = 16,919

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology