Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Публикационное смещение означает, что:

AИсследователи публикуют одно и то же исследование дважды
BЖурналы публикуют только качественные исследования
CРецензенты отдают предпочтение статьям авторов из известных университетов перед менее известными
DИсследования со значимыми результатами публикуются с большей вероятностью, чем исследования с нулевыми результатами

2.Методы исследования в психологииСложная

В качественных исследованиях рефлексивность означает, что исследователь:

AОсмысляет, как его собственный опыт и допущения могут влиять на анализ
BПревращает темы в числовые данные
CИспользует случайную выборку для устранения смещения
DПовторяет исследование для проверки надёжности

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 12, 25, 19, 38, 55, 23.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 55.

μ = 60σ = 5x = 55

z =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,2, 0,3, 0,2, 0,1

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = −2X + 20. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,25, 0,25, 0,3, 0,2Y = −2X + 20

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,8438. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,8438

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 20% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h20%

x = h

9.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 60 телефонов, среднее 110 h, известное стандартное отклонение 20 h. Модель 2: 50 телефонов, среднее 101 h, известное стандартное отклонение 12 h. Найдите верхнюю границу 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 110 hσ₁ = 20 hn₂ = 50x̄₂ = 101 hσ₂ = 12 h95%

верхняя граница = h

10.Доверительные интервалыСложная

Пилотное исследование показывает, что бракованными являются примерно 0,8 изделий. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 95 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,01?

p ≈ 0,8E = 0,0195%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 80 деталей имеет среднюю длину 65 mm, известное стандартное отклонение линии 17 mm. Линия 2: выборка из 60 деталей имеет среднее 69,5 mm, известное стандартное отклонение 20 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 80x̄₁ = 65 mmσ₁ = 17 mmn₂ = 60x̄₂ = 69,5 mmσ₂ = 20 mm

z =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 50 против H₁: μ > 50 проводится при α = 0,10 по выборке объёмом 100; стандартное отклонение известно и равно 30. В действительности среднее равно 53,6. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 50μ = 53,6σ = 30n = 100α = 0,10

β = %

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 30Σy = 80Σx² = 220Σy² = 1466Σxy = 566

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (5, 48). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(5, 48)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 3 строками и 5 столбцами (не считая итогов). Сколько степеней свободы df у критерия?

3 × 5

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Исследования со значимыми результатами публикуются с большей вероятностью, чем исследования с нулевыми результатами

Почему это ответ

Когда незначимые исследования остаются в ящиках столов, опубликованная литература завышает величины эффектов, что искажает метаанализы.

Ответ

D · Исследования со значимыми результатами публикуются с большей вероятностью, чем исследования с нулевыми результатами

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Осмысляет, как его собственный опыт и допущения могут влиять на анализ

Почему это ответ

Рефлексивность признаёт влияние исследователя на сбор и интерпретацию данных и является ключевым критерием качества качественной работы.

Ответ

A · Осмысляет, как его собственный опыт и допущения могут влиять на анализ

3.Описательная статистика

Ответ: s = 15,47

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 172/6 = 28,67

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−16,67)² + (−3,667)² + (−9,667)² + 9,333² + 26,33² + (−5,667)² = 1197

Стандартное отклонение

s = √(1197/5) = 15,47

Ответ

s = 15,47

4.Описательная статистика

Ответ: z = −1

Стандартизуйте

z = (55 − 60)/5 = −1

Ответ

z = −1

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,56

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,2 + 1·0,2 + 2·0,3 + 3·0,2 + 4·0,1 = 1,8

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,2 + 4·0,3 + 9·0,2 + 16·0,1 = 4,8

Дисперсия

Var(X) = 4,8 − 1,8² = 1,56

Ответ

Var(X) = 1,56

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 21,42

Разброс X

μ = 24,5, Var(X) = 114,8, σ_X = 10,71

Линейное преобразование

σ_Y = |−2|·10,71 = 21,42

Ответ

σ_Y = 21,42

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = −2·24,5 + 20 = −29.

7.Нормальное распределение

Ответ: z = −1,01

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,8438 = 0,1562

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,1562 внутри таблицы и считайте z.

z = −1,01

Ответ

z = −1,01

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 534 h

Площадь слева

Φ(z) = 0,8

z из таблицы

z ≈ 0,84

Возврат к исходным единицам

x = 500 + 0,84·40 = 534 h

Ответ

x = 534 h

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 15,06 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 110 − 101 = 9

Стандартная ошибка

SE = √(20²/60 + 12²/50) = 3,09

Предельная ошибка

E = 1,96·3,09 = 6,056

Интервал

9 ± 6,056 → [2,944, 15,06]

Ответ

верхняя граница = 15,06 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 6147

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,96²·0,8·0,2/0,01² = 6147

Округлите вверх

n = 6147

Ответ

n = 6147

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −1,404

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(17²/80 + 20²/60) = √10,28 = 3,206

Статистика критерия

z = (65 − 69,5)/3,206 = −1,404

Ответ

z = −1,404

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 53,27 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 30/√100 = 3

x̄_c = 50 + 1,282·3 = 53,85

z при истинном среднем

z = (53,85 − 53,6)/3 = 0,082

Ошибка второго рода

мощность = P(Z > 0,082) = 46,73%

β = 100% − 46,73% = 53,27%

Ответ

β = 53,27%

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,997

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 566 − 30·80/5 = 86

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 1466 − 80²/5 = 186

Коэффициент корреляции

r = 86/√(40·186) = 0,997

Ответ

r = 0,997

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −4,786

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 393/6 = 65,5

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 445

Линия регрессии

b = 445/70 = 6,357

a = 65,5 − 6,357·7 = 21

ŷ = 21 + 6,357·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 21 + 6,357·5 = 52,79

Остаток

e = 48 − 52,79 = −4,786

Ответ

e = −4,786

Точка лежит ниже прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 7,6

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

студенты: 80·40/160 = 20, 80·56/160 = 28, 80·64/160 = 32

сотрудники: 80·40/160 = 20, 80·56/160 = 28, 80·64/160 = 32

Статистика хи-квадрат

χ² = (19 − 20)²/20 + (21 − 28)²/28 + (40 − 32)²/32 + (21 − 20)²/20 + (35 − 28)²/28 + (24 − 32)²/32

χ² = 7,6

Ответ

χ² = 7,6

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 8

Степени свободы

df = (3 − 1)·(5 − 1) = 8

Ответ

df = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology