Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Стандартизированные инструкции используют в эксперименте для того, чтобы:

AРезультаты стали статистически значимыми
BИсследователь мог подстраивать процедуру под потребности каждого участника
CУчастники могли сами выбирать условия
DВсе участники получали одинаковую информацию одинаковым образом

2.Методы исследования в психологииСложная

Тест «интеллекта» в основном измеряет, насколько быстро люди печатают. Какого вида валидности явно не хватает?

AРетестовой надёжности
BКонструктной валидности
CВнутренней согласованности
DМежэкспертной надёжности

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 40, 57, 41, 32, 12, 32.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 170 и стандартным отклонением 5. Найдите z-оценку z для результата 164.

μ = 170σ = 5x = 164

z =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,25, 0,15, 0,15, 0,25

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

В тесте 11 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,6, независимо. Какова вероятность P ровно 2 верных ответов?

n = 11p = 0,6k = 2

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 92,5 и 130 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 92,5x₂ = 130

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки службы батареек распределены нормально со средним 500 h и стандартным отклонением 40 h. Найдите значение x, ниже которого лежат 25 % значений (25-й процентиль).

μ = 500σ = 40P = 25%

x = h

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 элементов имеет среднее 84,5 и стандартное отклонение s = 5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 16x̄ = 84,5s = 590%t(15) = 1,753

нижняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 11 участков, средний урожай 65 kg, стандартное отклонение 4,5 kg. Группа участков 2: 5 участков, среднее 68 kg, стандартное отклонение 2,5 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 65s₁ = 4,5n₂ = 5x̄₂ = 68s₂ = 2,599%t(14) = 2,977

E = kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 100 студентов имеет средний балл 71,88 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 71,88s = 12n = 100

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Односторонний z-критерий для H₀: μ = 50 против H₁: μ < 50 проводится при α = 0.10 по выборке объёмом 100; стандартное отклонение известно и равно 15. В действительности среднее равно 45.5. Найдите вероятность ошибки второго рода β в процентах.

μ₀ = 50μ = 45,5σ = 15n = 100α = 0,10

β = %

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 2,5.

n = 6x = 2,5

ŷ =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1402 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 2 строками и 11 столбцами (не считая итогов). По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Все участники получали одинаковую информацию одинаковым образом

Почему это ответ

Стандартизация устраняет вариации процедуры как постороннюю переменную и делает исследование воспроизводимым.

Ответ

D · Все участники получали одинаковую информацию одинаковым образом

2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Конструктной валидности

Почему это ответ

Конструктная валидность — это то, действительно ли методика отражает лежащий в её основе конструкт. Тест может быть надёжным, измеряя не то.

Ответ

B · Конструктной валидности

3.Описательная статистика

Ответ: s = 14,76

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 214/6 = 35,67

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 4,333² + 21,33² + 5,333² + (−3,667)² + (−23,67)² + (−3,667)² = 1089

Стандартное отклонение

s = √(1089/5) = 14,76

Ответ

s = 14,76

4.Описательная статистика

Ответ: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (164 − 170)/5 = −1,2

Ответ

z = −1,2

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 2,2

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,2 + 1·0,25 + 2·0,15 + 3·0,15 + 4·0,25 = 2

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,25 + 4·0,15 + 9·0,15 + 16·0,25 = 6,2

Дисперсия

Var(X) = 6,2 − 2² = 2,2

Ответ

Var(X) = 2,2

6.Вероятность

Ответ: P = 0,00519

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 2) = 55·0,6²·0,4⁹ = 55·0,36·0,0002621 = 0,00519

Ответ

P = 0,00519

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6687

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (92,5 − 100)/15 = −0,5

z₂ = (130 − 100)/15 = 2

Площадь между

P = Φ(2) − Φ(−0,5) = 0,9772 − 0,3085 = 0,6687

Ответ

P = 0,6687

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 473 h

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Обратно к x

x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h

Ответ

x = 473,02 h

9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 82,31

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 15, t = 1,753

Предельная ошибка

E = 1,753·5/√16 = 2,191

Интервал

84,5 ± 2,191 → [82,31, 86,69]

Ответ

нижняя граница = 82,31

10.Доверительные интервалы

Ответ: E = 6,473 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (10·4,5² + 4·2,5²)/14 = 16,25

s_p = 4,031

Предельная ошибка

E = 2,977·4,031·√(1/11 + 1/5) = 6,473

Ответ

E = 6,473 kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,6

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 12/√100 = 12/10 = 1,2

Статистика критерия

t = (71,88 − 75)/1,2 = −2,6

Ответ

t = −2,6

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| > 1,984, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: β = 4,29 %

Мощность критерия: мощность = 1 − β — вероятность отвергнуть H₀, когда она ложна. Найдите границу x̄c по μ₀ и z_α, затем вычислите вероятность оказаться за x̄c при истинном среднем: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Критическое выборочное среднее

SE = 15/√100 = 1,5

x̄_c = 50 − 1,282·1,5 = 48,08

z при истинном среднем

z = (48,08 − 45,5)/1,5 = 1,718

Ошибка второго рода

мощность = P(Z < 1.718) = 95.71%

β = 100% − 95,71% = 4,29%

Ответ

β = 4,29%

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,8884

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 270/6 = 45

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 59

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 252

Коэффициент корреляции

r = 59/√(17,5·252) = 0,8884

Ответ

r = 0,8884

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 26,15

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 148/6 = 24,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −26

Линия регрессии

b = −26/17,5 = −1,486

a = 24,67 − (−1,486)·3,5 = 29,87

ŷ = 29,87 − 1,486·x

Прогноз

ŷ = 29,87 + (−1,486)·2,5 = 26,15

Ответ

ŷ = 26,15

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 1,313

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

мужчины: 100·84/140 = 60, 100·56/140 = 40

женщины: 40·84/140 = 24, 40·56/140 = 16

Статистика хи-квадрат

χ² = (63 − 60)²/60 + (37 − 40)²/40 + (21 − 24)²/24 + (19 − 16)²/16

χ² = 1,313

Ответ

χ² = 1,313

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 23,21

Степени свободы

df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10

Таблица

χ²_crit(df = 10, α = 0,01) = 23,209

Ответ

χ²_crit = 23,209

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology