Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Альфа Кронбаха 0,88 для шкалы тревожности из 15 пунктов указывает на:

AУстойчивость результатов в течение шести месяцев
BХорошую внутреннюю согласованность пунктов
CТо, что шкала хорошо предсказывает будущую тревожность
DЗначимое влияние шкалы на тревожность

2.Методы исследования в психологииСложная

Интерпретативный феноменологический анализ (IPA) в основном направлен на то, чтобы:

AПодсчитывать частоту слов в текстах
BИсследовать, как люди осмысляют собственный жизненный опыт
CПроверять причинные гипотезы на больших выборках
DТочно измерять время реакции

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 21, 53, 26, 57, 57, 23.

n = 6

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 45.

μ = 50σ = 10x = 45

z =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

σ =

6.ВероятностьСложная

Игра стоит €1. Вы выигрываете €4 с вероятностью 0,15 и €10 с вероятностью 0,02; в остальных случаях вы ничего не выигрываете. Ставка не возвращается. Найдите ожидаемый чистый выигрыш E(G) за одну игру.

ставка = €1€4: p = 0,15€10: p = 0,02

E(G) = €

7.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (мешки с цементом) независимы и нормально распределены со средним 25 kg и стандартным отклонением 0,5 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 6 из них превышает 149,4 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 6> 149,4 kg

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 10% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 250 gσ = 5 g10%

x = g

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 10 элементов имеет среднее 44 и стандартное отклонение s = 13. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 10x̄ = 44s = 1390%t(9) = 1,833

E =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 40. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 40E = 1,595%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 50 деталей имеет среднюю длину 140,5 mm, известное стандартное отклонение линии 15 mm. Линия 2: выборка из 40 деталей имеет среднее 143,9 mm, известное стандартное отклонение 17 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 50x̄₁ = 140,5 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 40x̄₂ = 143,9 mmσ₂ = 17 mm

z =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 120 из 200 пациентов, получавших лечение A, и 128 из 250 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 120n₁ = 200x₂ = 128n₂ = 250

z =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 11.

n = 6x = 11

ŷ =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1402 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 4 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Хорошую внутреннюю согласованность пунктов

Почему это ответ

Альфа Кронбаха оценивает внутреннюю согласованность; значения около 0,7 и выше обычно считаются приемлемыми. Сама по себе она не доказывает валидность.

Ответ

B · Хорошую внутреннюю согласованность пунктов

2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Исследовать, как люди осмысляют собственный жизненный опыт

Почему это ответ

IPA углублённо изучает небольшие однородные выборки, исследуя, как участники интерпретируют значимые переживания, причём исследователь интерпретирует их осмысление.

Ответ

B · Исследовать, как люди осмысляют собственный жизненный опыт

3.Описательная статистика

Ответ: s = 17,84

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 237/6 = 39,5

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−18,5)² + 13,5² + (−13,5)² + 17,5² + 17,5² + (−16,5)² = 1592

Стандартное отклонение

s = √(1592/5) = 17,84

Ответ

s = 17,84

4.Описательная статистика

Ответ: z = −0,5

Стандартизуйте

z = (45 − 50)/10 = −0,5

Ответ

z = −0,5

5.Вероятность

Ответ: σ = 0,8367

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Дисперсия

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

σ = √0,7 = 0,8367

Ответ

σ = 0,8367

6.Вероятность

Ответ: E(G) = −0,2 €

Чистые исходы

G: 3 (p = 0,15), 9 (p = 0,02), −1 (p = 0,83)

Математическое ожидание

E(G) = 3·0,15 + 9·0,02 − 1·0,83 = −0,2 €

Ответ

E(G) = −0,2 €

Отрицательное значение означает, что в среднем вы теряете деньги.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6879

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 150 kg, σ_T = 0,5·√6 = 1,225 kg

Стандартизуйте

z = (149,4 − 150)/1,225 = −0,49

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,49) = 0,6879

Ответ

P = 0,6879

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 243,6 g

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,1

z из таблицы

z ≈ −1,28

Возврат к исходным единицам

x = 250 − 1,28·5 = 243,6 g

Ответ

x = 243,6 g

9.Доверительные интервалы

Ответ: E = 7,535

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 9, t = 1,833

Предельная ошибка

E = 1,833·13/√10 = 7,535

Ответ

E = 7,535

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 2732

Выразите n

n = (1,96·40/1,5)² = 2732

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 2732

Ответ

n = 2732

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −0,9929

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(15²/50 + 17²/40) = √11,72 = 3,424

Статистика критерия

z = (140,5 − 143,9)/3,424 = −0,9929

Ответ

z = −0,9929

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 1,865

Выборочные доли

p̂₁ = 120/200 = 0,6

p̂₂ = 128/250 = 0,512

p̂ = 248/450 = 0,5511

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,5511·0,4489·(1/200 + 1/250)) = 0,04719

Статистика критерия

z = (0,6 − 0,512)/0,04719 = 1,865

Ответ

z = 1,865

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9937

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 302/5 = 60,4

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 218

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1203

Коэффициент корреляции

r = 218/√(40·1203) = 0,9937

Ответ

r = 0,9937

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 23,32

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 94/6 = 15,67

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 134

Линия регрессии

b = 134/70 = 1,914

a = 15,67 − 1,914·7 = 2,267

ŷ = 2,267 + 1,914·x

Прогноз

ŷ = 2,267 + 1,914·11 = 23,32

Ответ

ŷ = 23,32

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 0,1167

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

курящие: 80·70/140 = 40, 80·70/140 = 40

некурящие: 60·70/140 = 30, 60·70/140 = 30

Статистика хи-квадрат

χ² = (41 − 40)²/40 + (39 − 40)²/40 + (29 − 30)²/30 + (31 − 30)²/30

χ² = 0,1167

Ответ

χ² = 0,1167

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 11,35

Степени свободы

df = 4 − 1 = 3

Таблица

χ²_crit(df = 3, α = 0,01) = 11,345

Ответ

χ²_crit = 11,345

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology