Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Исследователь хочет проверить, связан ли пол (мужской/женский) с предпочитаемым жанром фильмов (четыре категории). Какой критерий подходит?

AКорреляция Пирсона
BОднофакторный дисперсионный анализ
CКритерий хи-квадрат на независимость
Dt-критерий для связанных выборок

2.Методы исследования в психологииСложная

В тематическом анализе аналитик в основном:

AВыявляет повторяющиеся смысловые паттерны в качественных данных
BПроверяет числовую гипотезу
CТолько подсчитывает частоту слов
DВычисляет средний балл каждой темы, чтобы статистически сравнить их

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 24, 50, 11, 19, 59.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 70 и стандартным отклонением 20. Найдите z-оценку z для результата 46.

μ = 70σ = 20x = 46

z =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,25, 0,1, 0,3

σ =

6.ВероятностьСложная

Испытывают 12 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,5. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 12p = 0,5

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,1539. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,1539

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «результаты IQ-тестов» нормальное: среднее 100 баллов, стандартное отклонение 15 баллов. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 95% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 100 балловσ = 15 баллов95%

x = баллов

9.Доверительные интервалыСредняя

У 16 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 0,9 и стандартное отклонение 2,5. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для средней разности.

n = 16d̄ = 0,9s_d = 2,590%t(15) = 1,753

верхняя граница = mmHg

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 10. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 95 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 10E = 2,595%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 64 студентов имеет средний балл 121,5 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 121,5s = 10n = 64

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 81 измерений имеет среднее 49,5. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 15. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 49,5σ = 15n = 8199%

U =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 9?

n = 5ŷ = 9

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1202 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 4 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 4

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Критерий хи-квадрат на независимость

Почему это ответ

Критерий хи-квадрат сравнивает наблюдаемые и ожидаемые частоты в таблице сопряжённости, чтобы проверить, связаны ли две категориальные переменные.

Ответ

C · Критерий хи-квадрат на независимость

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Выявляет повторяющиеся смысловые паттерны в качественных данных

Почему это ответ

Тематический анализ включает знакомство с данными, кодирование, формирование, пересмотр и наименование тем и написание отчёта; в центре — смысл, а не статистика.

Ответ

A · Выявляет повторяющиеся смысловые паттерны в качественных данных

3.Описательная статистика

Ответ: s = 20,77

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 163/5 = 32,6

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−8,6)² + 17,4² + (−21,6)² + (−13,6)² + 26,4² = 1725

Стандартное отклонение

s = √(1725/4) = 20,77

Ответ

s = 20,77

4.Описательная статистика

Ответ: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (46 − 70)/20 = −1,2

Ответ

z = −1,2

5.Вероятность

Ответ: σ = 1,236

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 0·0,35 + 1·0,25 + 2·0,1 + 3·0,3 = 1,35

Среднее квадратов

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,25 + 4·0,1 + 9·0,3 = 3,35

Дисперсия

Var(X) = 3,35 − 1,35² = 1,528

σ = √1,528 = 1,236

Ответ

σ = 1,236

6.Вероятность

Ответ: P = 0,003174

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,5¹² = 0,0002441

P(X = 1) = 12·0,5·0,5¹¹ = 0,00293

Сложите

P = 0,0002441 + 0,00293 = 0,003174

Ответ

P = 0,003174

7.Нормальное распределение

Ответ: z = 1,02

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,1539 = 0,8461

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,8461 внутри таблицы и считайте z.

z = 1,02

Ответ

z = 1,02

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 75,4 баллов

Площадь слева

Φ(z) = 0,05

z из таблицы

z ≈ −1,64

Возврат к исходным единицам

x = 100 − 1,64·15 = 75,4 баллов

Ответ

x = 75,4 баллов

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 1,996 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 15, t = 1,753

Предельная ошибка

E = 1,753·2,5/√16 = 1,096

Интервал

0,9 ± 1,096 → [−0,1956, 1,996]

Ответ

верхняя граница = 1,996 mmHg

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 62

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,96·10/2,5)² = 61,47

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 62

Ответ

n = 62

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√64 = 10/8 = 1,25

Статистика критерия

t = (121,5 − 120)/1,25 = 1,2

Ответ

t = 1,2

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 53,79

Предельная ошибка

E = 2,576·15/√81 = 4,293

Граница интервала

U = 49,5 + 4,293 = 53,79

Ответ

U = 53,79

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9635

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 93/5 = 18,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 249,2

Коэффициент детерминации

r² = 98²/(40·249,2) = 0,9635

Ответ

r² = 0,9635

Прямая объясняет около 96,35% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 3,079

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 91/5 = 18,2

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 126

Линия регрессии

b = 126/40 = 3,15

a = 18,2 − 3,15·6 = −0,7

ŷ = −0,7 + 3,15·x

Найдите x

x = (9 − (−0,7))/3,15 = 3,079

Ответ

x = 3,079

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 7,179

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

мужчины: 60·78/120 = 39, 60·42/120 = 21

женщины: 60·78/120 = 39, 60·42/120 = 21

Статистика хи-квадрат

χ² = (32 − 39)²/39 + (28 − 21)²/21 + (46 − 39)²/39 + (14 − 21)²/21

χ² = 7,179

Ответ

χ² = 7,179

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 3

Степени свободы

df = 4 − 1 = 3

Ответ

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology