Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Требования ситуации (demand characteristics) — это:

AОфициальные требования этического комитета, которые нужно выполнить до начала исследования
BХарактеристики выборки
CСтатистические требования теста
DПодсказки, из-за которых участники догадываются о цели и меняют поведение

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь проводит 20 анализов на одном наборе данных и сообщает только тот, где p < 0,05. Эта практика называется:

AПредварительная регистрация
BТриангуляция
CКонтрбалансировка
DP-hacking

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 16, 16, 32, 48, 60.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 500 и стандартным отклонением 50. Какая доля P значений больше 562,5?

μ = 500σ = 50x = 562,5

P =

5.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 3 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 3

P =

6.ВероятностьСложная

В тесте 11 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,4, независимо. Какова вероятность P ровно 5 верных ответов?

n = 11p = 0,4k = 5

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Перетащите z так, чтобы закрашенная площадь под стандартной нормальной кривой справа от z была равна 0,9803. Найдите z с точностью до двух знаков.

A = 0,9803

z =

8.Нормальное распределениеСложная

Рост мужчин X и женщин Y в группе независимы и нормально распределены: X имеет среднее 180 cm и стандартное отклонение 10 cm, Y имеет среднее 170 cm и стандартное отклонение 12 cm. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 11 элементов имеет среднее 117 и стандартное отклонение s = 13. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 11x̄ = 117s = 1399%t(10) = 3,169

E =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 17. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?

σ = 17E = 2,599%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 100 студентов имеет средний балл 75,68 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 75,68s = 4n = 100

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 90 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 2? Стандартное отклонение — 20. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 20E = 290%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 6

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (18, 68). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(18, 68)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «дневная смена, без дефектов».

итог по строке = 68итог по столбцу = 62N = 166

E =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,05, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 1603 × 2α = 0,05

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Подсказки, из-за которых участники догадываются о цели и меняют поведение

Почему это ответ

Когда участники догадываются о гипотезе, они могут вести себя так, чтобы её подтвердить или сорвать, что угрожает валидности. Это уменьшают обман и слепые методы.

Ответ

D · Подсказки, из-за которых участники догадываются о цели и меняют поведение

2.Методы исследования в психологии

Ответ: D · P-hacking

Почему это ответ

P-hacking использует гибкость анализа для получения значимости, поднимая долю ложноположительных результатов значительно выше 5%. Предварительная регистрация и прозрачная отчётность уменьшают его.

Ответ

D · P-hacking

3.Описательная статистика

Ответ: s = 19,51

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 172/5 = 34,4

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−18,4)² + (−18,4)² + (−2,4)² + 13,6² + 25,6² = 1523

Стандартное отклонение

s = √(1523/4) = 19,51

Ответ

s = 19,51

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,1056

Стандартизуйте

z = 1,25

Таблица нормального распределения

Φ(1,25) = 0,8944

P = 1 − 0,8944 = 0,1056

Ответ

P = 0,1056

5.Вероятность

Ответ: P = 0,4213

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Ответ

P = 0,4213

6.Вероятность

Ответ: P = 0,2207

Формула Бернулли

P(X = 5) = 462·0,4⁵·0,6⁶ = 462·0,01024·0,04666 = 0,2207

Ответ

P = 0,2207

7.Нормальное распределение

Ответ: z = −2,06

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева от z

Φ(z) = 1 − 0,9803 = 0,0197

Читайте таблицу z в обратную сторону

Найдите 0,0197 внутри таблицы и считайте z.

z = −2,06

Ответ

z = −2,06

8.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7389

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

Стандартизуйте

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

Ответ

P = 0,7389

9.Доверительные интервалы

Ответ: E = 12,42

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 10, t = 3,169

Предельная ошибка

E = 3,169·13/√11 = 12,42

Ответ

E = 12,42

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 307

Выразите n

n = (2,576·17/2,5)² = 306,8

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 307

Ответ

n = 307

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,7

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Статистика критерия

t = (75,68 − 75)/0,4 = 1,7

Ответ

t = 1,7

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 271

Выразите n

n = (1,645·20/2)² = 270,6

Округлите вверх

n = 271

Ответ

n = 271

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9949

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 131/6 = 21,83

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 193

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 534,8

Коэффициент детерминации

r² = 193²/(70·534,8) = 0,9949

Ответ

r² = 0,9949

Прямая объясняет около 99,49% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = −3,3

Средние

x̄ = 105/5 = 21

ȳ = 409/5 = 81,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 140

Линия регрессии

b = 140/40 = 3,5

a = 81,8 − 3,5·21 = 8,3

ŷ = 8,3 + 3,5·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 8,3 + 3,5·18 = 71,3

Остаток

e = 68 − 71,3 = −3,3

Ответ

e = −3,3

Точка лежит ниже прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 25,4

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 68·62/166 = 25,4

Ответ

E = 25,4

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 53,07

Ожидаемые частоты

линия 1: 48, 32

линия 2: 24, 16

линия 3: 24, 16

Статистика хи-квадрат

χ² = (65 − 48)²/48 + (15 − 32)²/32 + (26 − 24)²/24 + (14 − 16)²/16 + (5 − 24)²/24 + (35 − 16)²/16

χ² = 53,07

Решение

df = 2, χ²_crit = 5,991

53,07 > 5,991

Ответ

χ² = 53,07

χ² больше критического значения, поэтому H₀ отвергается: переменные, по-видимому, связаны.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology