Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Значение p = 0,03 означает:

AРезультат воспроизведётся в 97% случаев
BЕсли бы нулевая гипотеза была верна, такие экстремальные данные встречались бы примерно в 3% случаев
CЭффект большой
DПри имеющихся данных нулевая гипотеза верна с вероятностью лишь 3%

2.Методы исследования в психологииСложная

Проанализировав данные, исследователь пишет введение так, будто неожиданный результат был предсказан с самого начала. Это называют:

AДебрифингом
BHARKing (выдвижение гипотез после того, как результаты известны)
CОперационализацией
DКонтрбалансировкой

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 42, 23, 47, 22, 19.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений больше 48?

μ = 60σ = 8x = 48

P =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,15, 0,3, 0,2, 0,35

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

Испытывают 8 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,6. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 8p = 0,6

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 25,1 и 43,1 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x₁ = 25,1x₂ = 43,1

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,05 mm и стандартным отклонением 0,01 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,05 mm, σ = 0,01 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 10 элементов имеет среднее 50 и стандартное отклонение s = 12. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для среднего.

n = 10x̄ = 50s = 1295%t(9) = 2,262

E =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 18. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 1,5?

σ = 18E = 1,590%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 студентов имеет средний балл 73,88 и выборочное стандартное отклонение 5. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 73,88s = 5n = 16

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 49 измерений имеет среднее 74,8. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 4. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 74,8σ = 4n = 4999%

U =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 54?

n = 5ŷ = 54

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1002 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат проверяет, подчиняются ли частоты в 8 категориях распределению Пуассона, среднее которого оценивается по тем же данным. Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 8

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Если бы нулевая гипотеза была верна, такие экстремальные данные встречались бы примерно в 3% случаев

Почему это ответ

Значение p — вероятность получить результаты не менее экстремальные, чем наблюдаемые, если нулевая гипотеза верна. Оно не показывает вероятность истинности гипотезы или размер эффекта.

Ответ

B · Если бы нулевая гипотеза была верна, такие экстремальные данные встречались бы примерно в 3% случаев

2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · HARKing (выдвижение гипотез после того, как результаты известны)

Почему это ответ

HARKing выдаёт разведочные результаты за подтверждающие, отчего результаты выглядят более надёжными, чем есть на самом деле. Это способствует кризису воспроизводимости.

Ответ

B · HARKing (выдвижение гипотез после того, как результаты известны)

3.Описательная статистика

Ответ: s = 12,9

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 153/5 = 30,6

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 11,4² + (−7,6)² + 16,4² + (−8,6)² + (−11,6)² = 665,2

Стандартное отклонение

s = √(665,2/4) = 12,9

Ответ

s = 12,9

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9332

Стандартизуйте

z = −1,5

Таблица нормального распределения

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

Ответ

P = 0,9332

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 118,8

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 10·0,15 + 20·0,3 + 30·0,2 + 40·0,35 = 27,5

Среднее квадратов

E(X²) = 100·0,15 + 400·0,3 + 900·0,2 + 1600·0,35 = 875

Дисперсия

Var(X) = 875 − 27,5² = 118,8

Ответ

Var(X) = 118,8

6.Вероятность

Ответ: P = 0,00852

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,4⁸ = 0,0006554

P(X = 1) = 8·0,6·0,4⁷ = 0,007864

Сложите

P = 0,0006554 + 0,007864 = 0,00852

Ответ

P = 0,00852

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8428

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (25,1 − 32)/6 = −1,15

z₂ = (43,1 − 32)/6 = 1,85

Площадь между

P = Φ(1,85) − Φ(−1,15) = 0,9678 − 0,1251 = 0,8428

Ответ

P = 0,8428

8.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9875

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24

Вероятность

P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875

Ответ

P = 0,9875

9.Доверительные интервалы

Ответ: E = 8,584

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 9, t = 2,262

Предельная ошибка

E = 2,262·12/√10 = 8,584

Ответ

E = 8,584

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 390

Выразите n

n = (1,645·18/1,5)² = 389,7

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 390

Ответ

n = 390

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −0,896

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 5/√16 = 5/4 = 1,25

Статистика критерия

t = (73,88 − 75)/1,25 = −0,896

Ответ

t = −0,896

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: U = 76,27

Предельная ошибка

E = 2,576·4/√49 = 1,472

Граница интервала

U = 74,8 + 1,472 = 76,27

Ответ

U = 76,27

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9928

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 394/5 = 78,8

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 236

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1413

Коэффициент корреляции

r = 236/√(40·1413) = 0,9928

Ответ

r = 0,9928

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 4

Средние

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 360/5 = 72

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 240

Линия регрессии

b = 240/40 = 6

a = 72 − 6·7 = 30

ŷ = 30 + 6·x

Найдите x

x = (54 − 30)/6 = 4

Ответ

x = 4

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 1

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

город: 40·50/100 = 20, 40·25/100 = 10, 40·25/100 = 10

село: 60·50/100 = 30, 60·25/100 = 15, 60·25/100 = 15

Статистика хи-квадрат

χ² = (18 − 20)²/20 + (10 − 10)²/10 + (12 − 10)²/10 + (32 − 30)²/30 + (15 − 15)²/15 + (13 − 15)²/15

χ² = 1

Ответ

χ² = 1

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 6

Степени свободы

df = 8 − 1 − 1 = 6

Ответ

df = 6

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology