Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачиНазад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее
x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана
срединное значение упорядоченных данных
z-оценка
z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение
68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие
P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Нормальное распределение

z-оценка
z = (x − μ)/σ
Меньше x
P(X < x) = Φ(z)
Больше x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между
Φ(z2) − Φ(z1)
Процентиль
x = μ + z·σ

Метод

  1. Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
  2. Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
  3. Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
  4. Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно
x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки
n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

  1. Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
  2. Найдите критическое значение для уровня доверия.
  3. Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
  4. Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
t-тест для среднего
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%
отвергните H0, если |z| > 1,96
Доверительный интервал
x̄ ± z·σ/√n

Метод

  1. Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
  2. Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
  3. Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
  4. Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент
b = Sxy/Sxx
Свободный член
a = ȳ − b·x̄
Корреляция
r = Sxy/√(SxxSyy)
Остаток
e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия
χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение
отвергнуть H0, если χ² > χ²crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Исследование прошло предварительную регистрацию (preregistration). Это означает, что:

  1. AУчастники регистрируют своё согласие онлайн
  2. BГипотезы, методы и план анализа публично зафиксированы до сбора данных
  3. CИсследование уже опубликовано
  4. DРезультаты проверены и одобрены вторым независимым статистиком до публикации
2.Методы исследования в психологииСложная

Пациенты, отобранные из-за крайне высоких показателей тревожности, при повторном тестировании показывают более низкие результаты даже без лечения. Каково наиболее вероятное объяснение?

  1. AРегрессия к среднему
  2. BКонтрбалансировка
  3. CХоторнский эффект
  4. DЭффект потолка
3.Описательная статистикаСредняя
1520253035404550

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 12, 43, 39, 27, 43, 47, 53.

n = 7
s =
4.Описательная статистикаСложная
z −2−1012

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений меньше 78?

μ = 60σ = 12x = 78
P =
5.ВероятностьСредняя
n = 13k = 2N = ?

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 2 человек из группы из 13 человек? Порядок не важен.

n = 13k = 2
N =
6.ВероятностьСложная
xp(x)00,3510,320,35μ

X имеет показанное распределение, а Y = 3X + 10. Найдите стандартное отклонение σY величины Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 3X + 10
σY =
7.Нормальное распределениеСредняя
245,25257,75P = ?

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 245,25 и 257,75 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x1 = 245,25x2 = 257,75
P =
8.Нормальное распределениеСложная
μ = 32x = ?99%

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 99 % значений (99-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 99%
x = min
9.Доверительные интервалыСредняя
n = 15, s = 19L = ?Ux̄ = 44E90%

Выборка из 15 элементов имеет среднее 44 и стандартное отклонение s = 19. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 90 % доверительного интервала для среднего.

n = 15x̄ = 44s = 1990%t(14) = 1,761
нижняя граница =
10.Доверительные интервалыСложная
σ = 21, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 199%

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 21. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 1?

σ = 21E = 199%
n =
11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
−1,961,96z = ?

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 60 деталей имеет среднюю длину 95 mm, известное стандартное отклонение линии 15 mm. Линия 2: выборка из 50 деталей имеет среднее 89,1 mm, известное стандартное отклонение 6 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 60x̄₁ = 95 mmσ₁ = 15 mmn₂ = 50x̄₂ = 89,1 mmσ₂ = 6 mm
z =
12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
z −2,57602,576

Выборка из 36 измерений имеет среднее 199,3. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 15. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 199,3σ = 15n = 3699%
L =
13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
xy21042162983410441253xy5102040

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 42Σy = 191Σx² = 364Σy² = 7283Σxy = 1626
r =
14.Линейная регрессия и корреляцияСложная
xy129229326425523622xy24625x = 3,5

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3,5, 31). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 6(3,5, 31)
e =
15.Критерии хи-квадратСредняя
данетИтогомужчины5050100женщины671380Итого11763180

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1802 × 2
χ² =
16.Критерии хи-квадратСложная
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 9 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). По таблице найдите критическое значение χ²crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Гипотезы, методы и план анализа публично зафиксированы до сбора данных

Почему это ответ

Предварительная регистрация разделяет подтверждающие и разведочные анализы и уменьшает такие практики, как p-hacking и HARKing.

Ответ

B · Гипотезы, методы и план анализа публично зафиксированы до сбора данных
2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Регрессия к среднему

Почему это ответ

Когда людей отбирают по экстремальным значениям, ошибка измерения и случайность приводят к тому, что их последующие результаты смещаются к среднему. Контрольные группы помогают отделить это от эффекта лечения.

Ответ

A · Регрессия к среднему
3.Описательная статистика

Ответ: s = 13,86

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 264/7 = 37,71

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−25,71)² + 5,286² + 1,286² + (−10,71)² + 5,286² + 9,286² + 15,29² = 1153

Стандартное отклонение

s = √(1153/6) = 13,86

Ответ

s = 13,86
4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,9332

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Стандартизуйте

z = 1,5

Таблица нормального распределения

Φ(1,5) = 0,9332
P = 0,9332

Ответ

P = 0,9332
5.Вероятность

Ответ: N = 78

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(13, 2) = (13·12)/(2·1) = 78

Ответ

N = 78
6.Вероятность

Ответ: σY = 2,51

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σY = |a|·σX; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σX = 0,8367

Линейное преобразование

σY = |3|·0,8367 = 2,51

Ответ

σY = 2,51

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 3·1 + 10 = 13.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7684

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (245,25 − 250)/5 = −0,95
z₂ = (257,75 − 250)/5 = 1,55

Площадь между

P = Φ(1,55) − Φ(−0,95) = 0,9394 − 0,1711 = 0,7684

Ответ

P = 0,7684
8.Нормальное распределение

Ответ: x = 45,96 min

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,99 → z = 2,326

Обратно к x

x = 32 + 2,326·6 = 45,96 min

Ответ

x = 45,96 min
9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = 35,36

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 14, t = 1,761

Предельная ошибка

E = 1,761·19/√15 = 8,639

Интервал

44 ± 8,639 → [35,36, 52,64]

Ответ

нижняя граница = 35,36
10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 2927

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (2,576·21/1)² = 2926

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 2927

Ответ

n = 2927
11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 2,791

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(15²/60 + 6²/50) = √4,47 = 2,114

Статистика критерия

z = (95 − 89,1)/2,114 = 2,791

Ответ

z = 2,791

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 192,9

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 2,576·15/√36 = 6,44

Граница интервала

L = 199,3 − 6,44 = 192,9

Ответ

L = 192,9
13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,996

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

Sxy = 1626 − 42·191/6 = 289
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 7283 − 191²/6 = 1203

Коэффициент корреляции

r = 289/√(70·1203) = 0,996

Ответ

r = 0,996
14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 5,333

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 154/6 = 25,67

Суммы квадратов и произведений

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −27

Линия регрессии

b = −27/17,5 = −1,543
a = 25,67 − (−1,543)·3,5 = 31,07
ŷ = 31,07 − 1,543·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 31,07 + (−1,543)·3,5 = 25,67

Остаток

e = 31 − 25,67 = 5,333

Ответ

e = 5,333

Точка лежит выше прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 22,25

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

мужчины: 100·117/180 = 65, 100·63/180 = 35
женщины: 80·117/180 = 52, 80·63/180 = 28

Статистика хи-квадрат

χ² = (50 − 65)²/65 + (50 − 35)²/35 + (67 − 52)²/52 + (13 − 28)²/28
χ² = 22,25

Ответ

χ² = 22,25

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²crit = 20,09

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Степени свободы

df = 9 − 1 = 8

Таблица

χ²crit(df = 8, α = 0,01) = 20,090

Ответ

χ²crit = 20,090

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology