Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Одни и те же 25 участников проходят тест памяти до и после кофеина. Данные интервальные и примерно нормальные. Какой критерий подходит?

AКритерий хи-квадрат
BU-критерий Манна — Уитни
Ct-критерий для парных (связанных) выборок
Dt-критерий для независимых выборок

2.Методы исследования в психологииСложная

Тест «интеллекта» в основном измеряет, насколько быстро люди печатают. Какого вида валидности явно не хватает?

AКонструктной валидности
BРетестовой надёжности
CВнутренней согласованности
DМежэкспертной надёжности

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 52, 45, 36, 60, 57, 33, 40.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 8. Какая доля P значений меньше 160,4?

μ = 170σ = 8x = 160,4

P =

5.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 6 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 6

P =

6.ВероятностьСложная

Испытывают 9 компонентов, каждый выходит из строя независимо с вероятностью 0,5. Какова вероятность P, что откажет не более одного?

n = 9p = 0,5

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Какая доля значений лежит между 70 и 118 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 100σ = 15x₁ = 70x₂ = 118

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Диаметры отверстий D нормально распределены со средним 25,05 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Диаметры валов d независимы и нормально распределены со средним 25 mm и стандартным отклонением 0,02 mm. Случайно выбранный вал подходит, если D − d > 0. Найдите вероятность P того, что он подходит. Округлите z до двух знаков после запятой.

отверстие: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmвал: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

9.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 40 телефонов, среднее 147,5 h, известное стандартное отклонение 4 h. Модель 2: 100 телефонов, среднее 160,5 h, известное стандартное отклонение 5 h. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 147,5 hσ₁ = 4 hn₂ = 100x̄₂ = 160,5 hσ₂ = 5 h99%

нижняя граница = h

10.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 10 участков, средний урожай 77 kg, стандартное отклонение 5,5 kg. Группа участков 2: 16 участков, среднее 67,5 kg, стандартное отклонение 9 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 77s₁ = 5,5n₂ = 16x̄₂ = 67,5s₂ = 999%t(24) = 2,797

верхняя граница = kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 100 студентов имеет средний балл 51,2 и выборочное стандартное отклонение 10. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 51,2s = 10n = 100

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 36 измерений имеет среднее 98,2. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 4. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 98,2σ = 4n = 3690%

L =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 15Σy = 125Σx² = 55Σy² = 3171Σxy = 354

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (9, 27). Найдите его остаток e = y − ŷ.

n = 5(9, 27)

e =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 2002 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,05, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 1803 × 2α = 0,05

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · t-критерий для парных (связанных) выборок

Почему это ответ

Парный t-критерий сравнивает средние одних и тех же участников в двух условиях, используя разности внутри каждого человека.

Ответ

C · t-критерий для парных (связанных) выборок

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Конструктной валидности

Почему это ответ

Конструктная валидность — это то, действительно ли методика отражает лежащий в её основе конструкт. Тест может быть надёжным, измеряя не то.

Ответ

A · Конструктной валидности

3.Описательная статистика

Ответ: s = 10,48

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 323/7 = 46,14

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 5,857² + (−1,143)² + (−10,14)² + 13,86² + 10,86² + (−13,14)² + (−6,143)² = 658,9

Стандартное отклонение

s = √(658,9/6) = 10,48

Ответ

s = 10,48

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,1151

Стандартизуйте

z = −1,2

Таблица нормального распределения

Φ(−1,2) = 0,1151

P = 0,1151

Ответ

P = 0,1151

5.Вероятность

Ответ: P = 0,6651

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Ответ

P = 0,6651

6.Вероятность

Ответ: P = 0,01953

Ноль и один отказ

P(X = 0) = 0,5⁹ = 0,001953

P(X = 1) = 9·0,5·0,5⁸ = 0,01758

Сложите

P = 0,001953 + 0,01758 = 0,01953

Ответ

P = 0,01953

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8622

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (70 − 100)/15 = −2

z₂ = (118 − 100)/15 = 1,2

Площадь между

P = Φ(1,2) − Φ(−2) = 0,8849 − 0,02275 = 0,8622

Ответ

P = 0,8622

8.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,9616

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение разности

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02828 mm

Стандартизуйте

z = (0 − 0,05)/0,02828 = −1,77

Вероятность

P = 1 − Φ(−1,77) = 0,9616

Ответ

P = 0,9616

9.Доверительные интервалы

Ответ: нижняя граница = −15,08 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 147,5 − 160,5 = −13

Стандартная ошибка

SE = √(4²/40 + 5²/100) = 0,8062

Предельная ошибка

E = 2,576·0,8062 = 2,077

Интервал

−13 ± 2,077 → [−15,08, −10,92]

Ответ

нижняя граница = −15,08 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

10.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 18,38 kg

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (9·5,5² + 15·9²)/24 = 61,97

s_p = 7,872

Предельная ошибка

E = 2,797·7,872·√(1/10 + 1/16) = 8,876

Интервал

9,5 ± 8,876 → [0,6242, 18,38]

Ответ

верхняя граница = 18,38 kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

Статистика критерия

t = (51,2 − 50)/1 = 1,2

Ответ

t = 1,2

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 97,1

Предельная ошибка

E = 1,645·4/√36 = 1,097

Граница интервала

L = 98,2 − 1,097 = 97,1

Ответ

L = 97,1

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9791

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 354 − 15·125/5 = −21

S_xx = 55 − 15²/5 = 10

S_yy = 3171 − 125²/5 = 46

Коэффициент корреляции

r = −21/√(10·46) = −0,9791

Ответ

r = −0,9791

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: e = 2,3

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 83/5 = 16,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 108

Линия регрессии

b = 108/40 = 2,7

a = 16,6 − 2,7·6 = 0,4

ŷ = 0,4 + 2,7·x

Прогнозируемое значение

ŷ = 0,4 + 2,7·9 = 24,7

Остаток

e = 27 − 24,7 = 2,3

Ответ

e = 2,3

Точка лежит выше прямой.

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 0,08418

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

курящие: 120·110/200 = 66, 120·90/200 = 54

некурящие: 80·110/200 = 44, 80·90/200 = 36

Статистика хи-квадрат

χ² = (67 − 66)²/66 + (53 − 54)²/54 + (43 − 44)²/44 + (37 − 36)²/36

χ² = 0,08418

Ответ

χ² = 0,08418

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 7,682

Ожидаемые частоты

завод A: 32, 8

завод B: 48, 12

завод C: 64, 16

Статистика хи-квадрат

χ² = (30 − 32)²/32 + (10 − 8)²/8 + (55 − 48)²/48 + (5 − 12)²/12 + (59 − 64)²/64 + (21 − 16)²/16

χ² = 7,682

Решение

df = 2, χ²_crit = 5,991

7,682 > 5,991

Ответ

χ² = 7,682

χ² больше критического значения, поэтому H₀ отвергается: переменные, по-видимому, связаны.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology