Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Какая статистика подходит для связи между двумя наборами рангов, например ранжированиями картин судьями?

AРо Спирмена
Bt-критерий для независимых выборок
Cr Пирсона
DХи-квадрат

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь обнаруживает, что продажи мороженого и случаи гибели утопающих положительно коррелируют. Какое объяснение наиболее правдоподобно?

AЖаркая погода увеличивает и продажи мороженого, и количество купающихся
BКорреляция обязательно является ошибкой вычислений
CУтопления увеличивают продажи мороженого
DМороженое вызывает утопление

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 30, 27, 39, 57, 44.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 500 и стандартным отклонением 25. Найдите z-оценку z для результата 470.

μ = 500σ = 25x = 470

z =

5.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 3 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 3

P =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = −2X + 1. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,35, 0,05, 0,15, 0,35Y = −2X + 1

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Какая доля значений лежит между 20,3 и 39,2 min? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 32σ = 6x₁ = 20,3x₂ = 39,2

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть сроки доставки распределены нормально со средним 32 min и стандартным отклонением 6 min. Найдите значение x, ниже которого лежат 25 % значений (25-й процентиль).

μ = 32σ = 6P = 25%

x = min

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 7 элементов имеет среднее 28 и стандартное отклонение s = 13,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 7x̄ = 28s = 13,599%t(6) = 3,707

E =

10.Доверительные интервалыСложная

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 90 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,02?

p = 0,5E = 0,0290%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Две производственные линии изготавливают одну и ту же деталь. Линия 1: выборка из 50 деталей имеет среднюю длину 149 mm, известное стандартное отклонение линии 13 mm. Линия 2: выборка из 50 деталей имеет среднее 146,3 mm, известное стандартное отклонение 4 mm. Найдите статистику критерия z для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (линия 1 минус линия 2).

n₁ = 50x̄₁ = 149 mmσ₁ = 13 mmn₂ = 50x̄₂ = 146,3 mmσ₂ = 4 mm

z =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 23 из 150 пациентов, получавших лечение A, и 34 из 120 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 23n₁ = 150x₂ = 34n₂ = 120

z =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6Σx = 21Σy = 142Σx² = 91Σy² = 3444Σxy = 461

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 10?

n = 5ŷ = 10

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1202 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,05, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 2603 × 2α = 0,05

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Ро Спирмена

Почему это ответ

Ранговая корреляция Спирмена измеряет силу монотонной связи между двумя ранжированными или порядковыми переменными.

Ответ

A · Ро Спирмена

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Жаркая погода увеличивает и продажи мороженого, и количество купающихся

Почему это ответ

Обе величины вызывает третья переменная — температура. Это показывает, почему одна лишь корреляция не может доказать причинность.

Ответ

A · Жаркая погода увеличивает и продажи мороженого, и количество купающихся

3.Описательная статистика

Ответ: s = 11,97

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 197/5 = 39,4

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−9,4)² + (−12,4)² + (−0,4)² + 17,6² + 4,6² = 573,2

Стандартное отклонение

s = √(573,2/4) = 11,97

Ответ

s = 11,97

4.Описательная статистика

Ответ: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (470 − 500)/25 = −1,2

Ответ

z = −1,2

5.Вероятность

Ответ: P = 0,4213

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)³ = 0,5787

P = 1 − 0,5787 = 0,4213

Ответ

P = 0,4213

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 2,973

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 2,3, Var(X) = 2,21, σ_X = 1,487

Линейное преобразование

σ_Y = |−2|·1,487 = 2,973

Ответ

σ_Y = 2,973

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = −2·2,3 + 1 = −3,6.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8593

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (20,3 − 32)/6 = −1,95

z₂ = (39,2 − 32)/6 = 1,2

Площадь между

P = Φ(1,2) − Φ(−1,95) = 0,8849 − 0,02559 = 0,8593

Ответ

P = 0,8593

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 27,95 min

z для процентиля

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

Обратно к x

x = 32 + −0,6745·6 = 27,95 min

Ответ

x = 27,95 min

9.Доверительные интервалы

Ответ: E = 18,92

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 6, t = 3,707

Предельная ошибка

E = 3,707·13,5/√7 = 18,92

Ответ

E = 18,92

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 1692

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,02² = 1691

Округлите вверх

n = 1692

Ответ

n = 1692

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 1,404

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Стандартная ошибка разности

SE = √(13²/50 + 4²/50) = √3,7 = 1,924

Статистика критерия

z = (149 − 146,3)/1,924 = 1,404

Ответ

z = 1,404

|z| < 1.96, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = −2,601

Выборочные доли

p̂₁ = 23/150 = 0,1533

p̂₂ = 34/120 = 0,2833

p̂ = 57/270 = 0,2111

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,2111·0,7889·(1/150 + 1/120)) = 0,04998

Статистика критерия

z = (0,1533 − 0,2833)/0,04998 = −2,601

Ответ

z = −2,601

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = −0,9427

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 461 − 21·142/6 = −36

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 3444 − 142²/6 = 83,33

Коэффициент корреляции

r = −36/√(17,5·83,33) = −0,9427

Ответ

r = −0,9427

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 2,927

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 113/5 = 22,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 164

Линия регрессии

b = 164/40 = 4,1

a = 22,6 − 4,1·6 = −2

ŷ = −2 + 4,1·x

Найдите x

x = (10 − (−2))/4,1 = 2,927

Ответ

x = 2,927

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 14,65

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

курящие: 60·78/120 = 39, 60·42/120 = 21

некурящие: 60·78/120 = 39, 60·42/120 = 21

Статистика хи-квадрат

χ² = (29 − 39)²/39 + (31 − 21)²/21 + (49 − 39)²/39 + (11 − 21)²/21

χ² = 14,65

Ответ

χ² = 14,65

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 31,47

Ожидаемые частоты

возраст 18–30: 30, 30

возраст 31–50: 50, 50

возраст 51+: 50, 50

Статистика хи-квадрат

χ² = (22 − 30)²/30 + (38 − 30)²/30 + (36 − 50)²/50 + (64 − 50)²/50 + (72 − 50)²/50 + (28 − 50)²/50

χ² = 31,47

Решение

df = 2, χ²_crit = 5,991

31,47 > 5,991

Ответ

χ² = 31,47

χ² больше критического значения, поэтому H₀ отвергается: переменные, по-видимому, связаны.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology