Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Новый опросник депрессии предсказывает, кто из студентов обратится за лечением в течение следующего года. Это подтверждает какой вид валидности?

AТекущую (конкурентную) валидность
BОчевидную (внешнюю) валидность
CПрогностическую валидность
DСодержательную валидность

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь хочет проверить, приводит ли новый метод обучения к лучшим оценкам, но не может рандомизировать студентов. Какая схема в этой ситуации даёт наиболее сильные свидетельства причинности?

AОпрос студентов о том, считают ли они, что метод сработал
BКорреляция оценок с тем, насколько студентам нравится преподаватель
CСравнение подобранных классов, измеренных до и после, с группой сравнения
DИзмерение только класса, обучавшегося новым методом, после обучения

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 16, 42, 18, 42, 55.

n = 5

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 15. Какая доля P значений больше 48?

μ = 60σ = 15x = 48

P =

5.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 6 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 6

P =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = −2X + 1. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,15, 0,3, 0,2Y = −2X + 1

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (пассажиры с багажом) независимы и нормально распределены со средним 85 kg и стандартным отклонением 12 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 8 из них меньше 646,1 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 8< 646.1 kg

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «сроки службы батареек» нормальное: среднее 500 h, стандартное отклонение 40 h. Перетащите границу так, чтобы закрашенные верхние 80% были справа от неё. Найдите границу x.

μ = 500 hσ = 40 h80%

x = h

9.Доверительные интервалыСредняя

У 20 пациентов измеряют артериальное давление до и после лечения. Разности d = до − после (mmHg) имеют среднее 7,9 и стандартное отклонение 4,7. Найдите предельную ошибку E 90 % доверительного интервала для средней разности.

n = 20d̄ = 7,9s_d = 4,790%t(19) = 1,729

E = mmHg

10.Доверительные интервалыСложная

Диаметры 25 обработанных валов имеют выборочное стандартное отклонение 6,4 µm. Считая диаметры нормально распределёнными, найдите границу 95 % доверительного интервала для стандартного отклонения генеральной совокупности — верхняя граница σ. При df = 24 2,5 % распределения χ² лежит ниже 12,401 и 2,5 % — выше 39,364.

n = 25s = 6,4 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 50,96 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 50,96s = 4n = 25

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 99 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 3? Стандартное отклонение — 5. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 5E = 399%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 28,5.

n = 6x = 28,5

ŷ =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «дневная смена, незначительный».

итог по строке = 72итог по столбцу = 45N = 156

E =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 4 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). Сколько степеней свободы df у критерия?

k = 4

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Прогностическую валидность

Почему это ответ

Прогностическая валидность подтверждается, когда результаты предсказывают более поздний критерий. Текущая валидность использует критерий, измеренный одновременно.

Ответ

C · Прогностическую валидность

2.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Сравнение подобранных классов, измеренных до и после, с группой сравнения

Почему это ответ

Схема с неэквивалентными группами и измерениями до и после контролирует исходные различия и изменения во времени, хотя она слабее рандомизированного эксперимента.

Ответ

C · Сравнение подобранных классов, измеренных до и после, с группой сравнения

3.Описательная статистика

Ответ: s = 16,94

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 173/5 = 34,6

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−18,6)² + 7,4² + (−16,6)² + 7,4² + 20,4² = 1147

Стандартное отклонение

s = √(1147/4) = 16,94

Ответ

s = 16,94

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,7881

Стандартизуйте

z = −0,8

Таблица нормального распределения

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 1 − 0,2119 = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

5.Вероятность

Ответ: P = 0,6651

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁶ = 0,3349

P = 1 − 0,3349 = 0,6651

Ответ

P = 0,6651

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 2,304

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 1,35, Var(X) = 1,327, σ_X = 1,152

Линейное преобразование

σ_Y = |−2|·1,152 = 2,304

Ответ

σ_Y = 2,304

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = −2·1,35 + 1 = −1,7.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,1587

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 680 kg, σ_T = 12·√8 = 33,94 kg

Стандартизуйте

z = (646,1 − 680)/33,94 = −1

Вероятность

P = Φ(−1) = 0,1587

Ответ

P = 0,1587

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 466 h

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,2

z из таблицы

z ≈ −0,84

Возврат к исходным единицам

x = 500 − 0,84·40 = 466 h

Ответ

x = 466 h

9.Доверительные интервалы

Ответ: E = 1,817 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Критическое значение

df = 19, t = 1,729

Предельная ошибка

E = 1,729·4,7/√20 = 1,817

Ответ

E = 1,817 mmHg

10.Доверительные интервалы

Ответ: σ = 8,903 µm

Интервал для дисперсии: (n − 1)s²/σ² имеет распределение χ² с n − 1 степенями свободы. 95 % интервал для σ² простирается от (n − 1)s², делённого на верхнее значение χ² (выше него 2,5 %), до (n − 1)s², делённого на нижнее значение χ² (ниже него 2,5 %); интервал для σ получают извлечением квадратного корня из обеих границ. Он несимметричен относительно s.

Сумма квадратов

(n − 1)s² = 24·6,4² = 983

Границы для σ²

983/39,364 = 24,97

983/12,401 = 79,27

Граница для σ

σ = √79,27 = 8,903 µm

Ответ

σ = 8,903 µm

95 % интервал для σ: [4,997, 8,903] µm.

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Статистика критерия

t = (50,96 − 50)/0,8 = 1,2

Ответ

t = 1,2

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 19

Выразите n

n = (2,576·5/3)² = 18,43

Округлите вверх

n = 19

Ответ

n = 19

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9914

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 320/5 = 64

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 746

Коэффициент детерминации

r² = 172²/(40·746) = 0,9914

Ответ

r² = 0,9914

Прямая объясняет около 99,14% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 112

Средние

x̄ = 153/6 = 25,5

ȳ = 600/6 = 100

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 630

Линия регрессии

b = 630/157,5 = 4

a = 100 − 4·25,5 = −2

ŷ = −2 + 4·x

Прогноз

ŷ = −2 + 4·28,5 = 112

Ответ

ŷ = 112

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 20,77

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 72·45/156 = 20,77

Ответ

E = 20,77

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 3

Степени свободы

df = 4 − 1 = 3

Ответ

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology