Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Альфа Кронбаха 0,88 для шкалы тревожности из 15 пунктов указывает на:

AХорошую внутреннюю согласованность пунктов
BУстойчивость результатов в течение шести месяцев
CТо, что шкала хорошо предсказывает будущую тревожность
DЗначимое влияние шкалы на тревожность

2.Методы исследования в психологииСложная

Участник принимает препарат или сахарную таблетку, но не знает, что именно, тогда как исследователь знает. Какова эта схема и какое смещение остаётся возможным?

AПростая слепая; требовательные характеристики невозможны
BДвойная слепая; никакое смещение невозможно
CОткрытое испытание; эффекты плацебо полностью контролируются
DПростая слепая; предвзятость экспериментатора всё ещё возможна

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 15, 40, 13, 13, 41, 27, 56.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 100 и стандартным отклонением 20. Какая доля P значений больше 140?

μ = 100σ = 20x = 140

P =

5.ВероятностьСредняя

Правильный кубик бросают 7 раз. Какова вероятность P выбросить хотя бы одну шестёрку?

n = 7

P =

6.ВероятностьСложная

X имеет показанное распределение, а Y = 5X + 4. Найдите стандартное отклонение σ_Y величины Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,25, 0,35, 0,15Y = 5X + 4

σ_Y =

7.Нормальное распределениеСредняя

X нормальна со средним 250 g и стандартным отклонением 4 g; Y независима и нормальна со средним 500 g и стандартным отклонением 9 g. Найдите вероятность P того, что X + Y больше 754,9 g. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 754,9 g

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Время круга X бегуна A и время круга Y бегуна B независимы и нормально распределены: X имеет среднее 52 s и стандартное отклонение 4 s, Y имеет среднее 48 s и стандартное отклонение 3 s. Найдите вероятность P того, что X больше Y. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 элементов имеет среднее 64 и стандартное отклонение s = 5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите предельную ошибку E 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 25x̄ = 64s = 599%t(24) = 2,797

E =

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 16. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 3?

σ = 16E = 390%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 16 студентов имеет средний балл 506 и выборочное стандартное отклонение 20. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 506s = 20n = 16

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Какой должна быть выборка, чтобы 95 % доверительный интервал для среднего имел предельную ошибку не более 3? Стандартное отклонение — 20. Найдите наименьший объём выборки n.

σ = 20E = 395%

n =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 6 пар наблюдений x = нагрузка в kN и y = удлинение в mm. Найдите коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 6

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 64?

n = 6ŷ = 64

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «город, высокий».

итог по строке = 39итог по столбцу = 56N = 122

E =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 10 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Хорошую внутреннюю согласованность пунктов

Почему это ответ

Альфа Кронбаха оценивает внутреннюю согласованность; значения около 0,7 и выше обычно считаются приемлемыми. Сама по себе она не доказывает валидность.

Ответ

A · Хорошую внутреннюю согласованность пунктов

2.Методы исследования в психологии

Ответ: D · Простая слепая; предвзятость экспериментатора всё ещё возможна

Почему это ответ

В простой слепой схеме участники не знают своего условия, что контролирует ожидания эффекта плацебо. Знание исследователя всё ещё может влиять на результаты, поэтому предпочтительны двойные слепые схемы.

Ответ

D · Простая слепая; предвзятость экспериментатора всё ещё возможна

3.Описательная статистика

Ответ: s = 16,86

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 205/7 = 29,29

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−14,29)² + 10,71² + (−16,29)² + (−16,29)² + 11,71² + (−2,286)² + 26,71² = 1705

Стандартное отклонение

s = √(1705/6) = 16,86

Ответ

s = 16,86

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = 2

Таблица нормального распределения

Φ(2) = 0,9772

P = 1 − 0,9772 = 0,02275

Ответ

P = 0,02275

5.Вероятность

Ответ: P = 0,7209

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Противоположное событие

P(нет шестёрки) = (5/6)⁷ = 0,2791

P = 1 − 0,2791 = 0,7209

Ответ

P = 0,7209

6.Вероятность

Ответ: σ_Y = 10,2

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Разброс X

μ = 2,8, Var(X) = 4,16, σ_X = 2,04

Линейное преобразование

σ_Y = |5|·2,04 = 10,2

Ответ

σ_Y = 10,2

Среднее действительно сдвигается: E(Y) = 5·2,8 + 4 = 18.

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,3085

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Стандартизуйте

z = (754,9 − 750)/9,849 = 0,5

Верхний хвост

P = 1 − Φ(0,5) = 1 − 0,6915 = 0,3085

Ответ

P = 0,3085

8.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7881

Распределение разности

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

Стандартизуйте

z = (0 − 4)/5 = −0,8

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Ответ

P = 0,7881

9.Доверительные интервалы

Ответ: E = 2,797

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 24, t = 2,797

Предельная ошибка

E = 2,797·5/√25 = 2,797

Ответ

E = 2,797

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 77

Выразите n

n = (1,645·16/3)² = 76,97

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 77

Ответ

n = 77

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = 1,2

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 20/√16 = 20/4 = 5

Статистика критерия

t = (506 − 500)/5 = 1,2

Ответ

t = 1,2

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: n = 171

Выразите n

n = (1,96·20/3)² = 170,7

Округлите вверх

n = 171

Ответ

n = 171

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9957

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 150/6 = 25

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 226

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 736

Коэффициент корреляции

r = 226/√(70·736) = 0,9957

Ответ

r = 0,9957

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 17,52

Средние

x̄ = 141/6 = 23,5

ȳ = 547/6 = 91,17

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 157,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 715,5

Линия регрессии

b = 715,5/157,5 = 4,543

a = 91,17 − 4,543·23,5 = −15,59

ŷ = −15,59 + 4,543·x

Найдите x

x = (64 − (−15,59))/4,543 = 17,52

Ответ

x = 17,52

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 17,9

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 39·56/122 = 17,9

Ответ

E = 17,9

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 21,67

Степени свободы

df = 10 − 1 = 9

Таблица

χ²_crit(df = 9, α = 0,01) = 21,666

Ответ

χ²_crit = 21,666

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology