Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Исследователь сравнивает агрессивность детей до и после появления телевидения в отдалённом городке. Появление телевидения исследователь не контролировал. Это:

AПолевой эксперимент
BКорреляционный опрос о просмотре телевизора
CЕстественный эксперимент
DЛабораторный эксперимент

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь хочет проверить, приводит ли новый метод обучения к лучшим оценкам, но не может рандомизировать студентов. Какая схема в этой ситуации даёт наиболее сильные свидетельства причинности?

AИзмерение только класса, обучавшегося новым методом, после обучения
BСравнение подобранных классов, измеренных до и после, с группой сравнения
CКорреляция оценок с тем, насколько студентам нравится преподаватель
DОпрос студентов о том, считают ли они, что метод сработал

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 55, 30, 24, 16, 26, 50, 53.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 60 и стандартным отклонением 8. Найдите z-оценку z для результата 50,4.

μ = 60σ = 8x = 50,4

z =

5.ВероятностьСредняя

Сколькими способами N можно выбрать комиссию из 3 человек из группы из 15 человек? Порядок не важен.

n = 15k = 3

N =

6.ВероятностьСложная

В тесте 8 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,5, независимо. Какова вероятность P ровно 1 верных ответов?

n = 8p = 0,5k = 1

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть массы пакетов распределены нормально со средним 250 g и стандартным отклонением 5 g. Какая доля значений лежит между 244 и 256,25 g? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 250σ = 5x₁ = 244x₂ = 256,25

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Распределение «массы пакетов» нормальное: среднее 250 g, стандартное отклонение 5 g. Перетащите границу так, чтобы закрашенные нижние 85% были слева от неё. Найдите границу x.

μ = 250 gσ = 5 g85%

x = g

9.Доверительные интервалыСредняя

95 % доверительный интервал для среднего, построенный по 50 наблюдениям при известном σ, имеет предельную ошибку 11,6. Какой будет предельная ошибка E₂ 90 % интервала по 450 наблюдениям?

95%n₁ = 50E₁ = 11,690%n₂ = 450

E₂ =

10.Доверительные интервалыСложная

Испытываются два удобрения. Группа участков 1: 6 участков, средний урожай 19,5 kg, стандартное отклонение 4 kg. Группа участков 2: 10 участков, среднее 26,5 kg, стандартное отклонение 4 kg. Считайте дисперсии равными (объединённый t-критерий, df = n₁ + n₂ − 2). Найдите предельную ошибку E 95 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 19,5s₁ = 4n₂ = 10x̄₂ = 26,5s₂ = 495%t(14) = 2,145

E = kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Сравниваются два метода обучения. Группа 1: 5 студентов, средний балл 52,5, стандартное отклонение 4,5. Группа 2: 7 студентов, средний балл 66,2, стандартное отклонение 12. Считайте дисперсии генеральных совокупностей равными и используйте двухвыборочный t-критерий с объединённой дисперсией. Найдите статистику критерия t для H₀: μ₁ = μ₂, принимая разность как x̄₁ − x̄₂ (группа 1 минус группа 2).

n₁ = 5x̄₁ = 52,5s₁ = 4,5n₂ = 7x̄₂ = 66,2s₂ = 12

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 64 измерений имеет среднее 74,1. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 12. Найдите нижнюю границу L 90 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 74,1σ = 12n = 6490%

L =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.

n = 5

r² =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 27?

n = 5ŷ = 27

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Для критерия независимости хи-квадрат найдите ожидаемую частоту E для клетки «студенты, автомобиль».

итог по строке = 47итог по столбцу = 60N = 173

E =

16.Критерии хи-квадратСложная

В таблице даны наблюдаемые частоты. Проверьте при α = 0,01, независимы ли две переменные (без поправки на непрерывность). Вычислите статистику критерия χ², затем сравните её с критическим значением из таблицы.

N = 1403 × 2α = 0,01

χ² =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Естественный эксперимент

Почему это ответ

В естественном эксперименте НП варьирует из-за событий, не зависящих от исследователя. Экологическая валидность высока, но случайное распределение невозможно.

Ответ

C · Естественный эксперимент

2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Сравнение подобранных классов, измеренных до и после, с группой сравнения

Почему это ответ

Схема с неэквивалентными группами и измерениями до и после контролирует исходные различия и изменения во времени, хотя она слабее рандомизированного эксперимента.

Ответ

B · Сравнение подобранных классов, измеренных до и после, с группой сравнения

3.Описательная статистика

Ответ: s = 15,94

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 254/7 = 36,29

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = 18,71² + (−6,286)² + (−12,29)² + (−20,29)² + (−10,29)² + 13,71² + 16,71² = 1525

Стандартное отклонение

s = √(1525/6) = 15,94

Ответ

s = 15,94

4.Описательная статистика

Ответ: z = −1,2

Стандартизуйте

z = (50,4 − 60)/8 = −1,2

Ответ

z = −1,2

5.Вероятность

Ответ: N = 455

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Сочетания

C(15, 3) = (15·14·13)/(3·2·1) = 455

Ответ

N = 455

6.Вероятность

Ответ: P = 0,03125

Формула Бернулли

P(X = 1) = 8·0,5¹·0,5⁷ = 8·0,5·0,007813 = 0,03125

Ответ

P = 0,03125

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,7793

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (244 − 250)/5 = −1,2

z₂ = (256,25 − 250)/5 = 1,25

Площадь между

P = Φ(1,25) − Φ(−1,2) = 0,8944 − 0,1151 = 0,7793

Ответ

P = 0,7793

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 255,2 g

От площади обратно к z: Φ(z) — это площадь слева от z. Для площади левого хвоста A найдите в таблице z с Φ(z) = A. Площадь правого хвоста A означает Φ(z) = 1 − A. Центральная площадь A между −z и z оставляет (1 − A)/2 в каждом хвосте, поэтому Φ(z) = (1 + A)/2. Для значения x используйте x = μ + zσ.

Площадь слева

Φ(z) = 0,85

z из таблицы

z ≈ 1,04

Возврат к исходным единицам

x = 250 + 1,04·5 = 255,2 g

Ответ

x = 255,2 g

9.Доверительные интервалы

Ответ: E₂ = 3,245

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Отношение предельных ошибок

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(50/450) = 0,2798

Новая предельная ошибка

E₂ = 11,6·0,2798 = 3,245

Ответ

E₂ = 3,245

10.Доверительные интервалы

Ответ: E = 4,431 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Объединённое стандартное отклонение

s_p² = (5·4² + 9·4²)/14 = 16

s_p = 4

Предельная ошибка

E = 2,145·4·√(1/6 + 1/10) = 4,431

Ответ

E = 4,431 kg

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −2,407

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Объединённая дисперсия

s_p² = (4·4,5² + 6·12²)/10 = 94,5

s_p = 9,721

Стандартная ошибка

SE = 9,721·√(1/5 + 1/7) = 5,692

Статистика критерия

t = (52,5 − 66,2)/5,692 = −2,407

Ответ

t = −2,407

При df = 10 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,228; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 71,63

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Предельная ошибка

E = 1,645·12/√64 = 2,468

Граница интервала

L = 74,1 − 2,468 = 71,63

Ответ

L = 71,63

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r² = 0,9158

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Средние

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 243/5 = 48,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 241,2

Коэффициент детерминации

r² = 94²/(40·241,2) = 0,9158

Ответ

r² = 0,9158

Прямая объясняет около 91,58% вариации y.

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 2,391

Средние

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 128/5 = 25,6

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −23

Линия регрессии

b = −23/10 = −2,3

a = 25,6 − (−2,3)·3 = 32,5

ŷ = 32,5 − 2,3·x

Найдите x

x = (27 − 32,5)/(−2,3) = 2,391

Ответ

x = 2,391

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: E = 16,3

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемая частота

E = 47·60/173 = 16,3

Ответ

E = 16,3

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 2,738

Ожидаемые частоты

линия 1: 12, 28

линия 2: 18, 42

линия 3: 12, 28

Статистика хи-квадрат

χ² = (13 − 12)²/12 + (27 − 28)²/28 + (21 − 18)²/18 + (39 − 42)²/42 + (8 − 12)²/12 + (32 − 28)²/28

χ² = 2,738

Решение

df = 2, χ²_crit = 9,210

2,738 < 9,210

Ответ

χ² = 2,738

χ² меньше критического значения, поэтому H₀ не отвергается: значимых свидетельств связи нет.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology