Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Новый опросник депрессии предсказывает, кто из студентов обратится за лечением в течение следующего года. Это подтверждает какой вид валидности?

AТекущую (конкурентную) валидность
BСодержательную валидность
CПрогностическую валидность
DОчевидную (внешнюю) валидность

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь вызывает грустное настроение, показывая печальный фильм, а затем перед основным заданием просит участников оценить, насколько им грустно. Зачем включена эта оценка?

AКак проверка манипуляции, подтверждающая, что НП сработала, как задумано
BДля контрбалансировки порядка условий
CКак основная зависимая переменная исследования
DДля дебрифинга участников о целях

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 17, 44, 37, 54, 12, 23, 48.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Величина распределена нормально со средним 60 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений меньше 36?

μ = 60σ = 12x = 36

P =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите стандартное отклонение σ величины X.

x: 10, 20, 30, 40p(x): 0,3, 0,35, 0,25, 0,1

σ =

6.ВероятностьСложная

В тесте 5 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,3, независимо. Какова вероятность P ровно 2 верных ответов?

n = 5p = 0,3k = 2

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Какая доля значений лежит между 50,5 и 80 баллов? Дайте P в виде десятичной дроби.

μ = 65σ = 10x₁ = 50,5x₂ = 80

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Найдите значение x, ниже которого лежат 95 % значений (95-й процентиль).

μ = 178σ = 7P = 95%

x = cm

9.Доверительные интервалыСредняя

Выборка из 20 элементов имеет среднее 25,5 и стандартное отклонение s = 11,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите верхнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.

n = 20x̄ = 25,5s = 11,599%t(19) = 2,861

верхняя граница =

10.Доверительные интервалыСложная

О доле бракованных изделий заранее ничего не известно. Сколько изделий n нужно проверить, чтобы 90 % доверительный интервал для доли имел предельную ошибку не более 0,03?

p = 0,5E = 0,0390%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 25 студентов имеет средний балл 97,52 и выборочное стандартное отклонение 4. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 100.

μ₀ = 100x̄ = 97,52s = 4n = 25

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

Выборка из 100 измерений имеет среднее 49. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 5. Найдите нижнюю границу L 99 % доверительного интервала для среднего.

x̄ = 49σ = 5n = 10099%

L =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 35Σy = 313Σx² = 285Σy² = 19999Σxy = 2315

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 6 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Спрогнозируйте ŷ при x = 5,5.

n = 6x = 5,5

ŷ =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1802 × 2

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий независимости хи-квадрат применяется к таблице сопряжённости с 2 строками и 11 столбцами (не считая итогов). Сколько степеней свободы df у критерия?

2 × 11

df =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Прогностическую валидность

Почему это ответ

Прогностическая валидность подтверждается, когда результаты предсказывают более поздний критерий. Текущая валидность использует критерий, измеренный одновременно.

Ответ

C · Прогностическую валидность

2.Методы исследования в психологии

Ответ: A · Как проверка манипуляции, подтверждающая, что НП сработала, как задумано

Почему это ответ

Проверка манипуляции подтверждает, что НП вызвала задуманное психологическое состояние. Без неё нулевой результат мог бы означать, что манипуляция не удалась.

Ответ

A · Как проверка манипуляции, подтверждающая, что НП сработала, как задумано

3.Описательная статистика

Ответ: s = 16,32

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 235/7 = 33,57

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−16,57)² + 10,43² + 3,429² + 20,43² + (−21,57)² + (−10,57)² + 14,43² = 1598

Стандартное отклонение

s = √(1598/6) = 16,32

Ответ

s = 16,32

4.Описательная статистика

Ответ: P = 0,02275

Стандартизуйте

z = −2

Таблица нормального распределения

Φ(−2) = 0,02275

P = 0,02275

Ответ

P = 0,02275

5.Вероятность

Ответ: σ = 9,631

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 10·0,3 + 20·0,35 + 30·0,25 + 40·0,1 = 21,5

Среднее квадратов

E(X²) = 100·0,3 + 400·0,35 + 900·0,25 + 1600·0,1 = 555

Дисперсия

Var(X) = 555 − 21,5² = 92,75

σ = √92,75 = 9,631

Ответ

σ = 9,631

6.Вероятность

Ответ: P = 0,3087

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 2) = 10·0,3²·0,7³ = 10·0,09·0,343 = 0,3087

Ответ

P = 0,3087

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,8597

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z-оценки

z₁ = (50,5 − 65)/10 = −1,45

z₂ = (80 − 65)/10 = 1,5

Площадь между

P = Φ(1,5) − Φ(−1,45) = 0,9332 − 0,07353 = 0,8597

Ответ

P = 0,8597

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 189,5 cm

z для процентиля

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

Обратно к x

x = 178 + 1,645·7 = 189,51 cm

Ответ

x = 189,51 cm

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = 32,86

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Критическое значение

df = n − 1 = 19, t = 2,861

Предельная ошибка

E = 2,861·11,5/√20 = 7,357

Интервал

25,5 ± 7,357 → [18,14, 32,86]

Ответ

верхняя граница = 32,86

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 752

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Выразите n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,03² = 751,7

Округлите вверх

n = 752

Ответ

n = 752

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −3,1

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 4/√25 = 4/5 = 0,8

Статистика критерия

t = (97,52 − 100)/0,8 = −3,1

Ответ

t = −3,1

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: L = 47,71

Предельная ошибка

E = 2,576·5/√100 = 1,288

Граница интервала

L = 49 − 1,288 = 47,71

Ответ

L = 47,71

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,974

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 2315 − 35·313/5 = 124

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 19999 − 313²/5 = 405,2

Коэффициент корреляции

r = 124/√(40·405,2) = 0,974

Ответ

r = 0,974

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: ŷ = 41,33

Средние

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 248/6 = 41,33

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 42

Линия регрессии

b = 42/17,5 = 2,4

a = 41,33 − 2,4·5,5 = 28,13

ŷ = 28,13 + 2,4·x

Прогноз

ŷ = 28,13 + 2,4·5,5 = 41,33

Ответ

ŷ = 41,33

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 1,582

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

мужчины: 80·63/180 = 28, 80·117/180 = 52

женщины: 100·63/180 = 35, 100·117/180 = 65

Статистика хи-квадрат

χ² = (24 − 28)²/28 + (56 − 52)²/52 + (39 − 35)²/35 + (61 − 65)²/65

χ² = 1,582

Ответ

χ² = 1,582

df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: df = 10

Степени свободы

df = (2 − 1)·(11 − 1) = 10

Ответ

df = 10

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology