Описательная статистика
- Среднее
- x̄ = Σx/n
- Выборочное стандартное отклонение
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Медиана
- срединное значение упорядоченных данных
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Нормальное распределение
- 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ
Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет
Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.
1Формулы и методы
Вероятность
- Противоположное событие
- P(not A) = 1 − P(A)
- Правило сложения
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Независимые события
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Условная вероятность
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Биномиальное распределение
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Нормальное распределение
- z-оценка
- z = (x − μ)/σ
- Меньше x
- P(X < x) = Φ(z)
- Больше x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Между
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Процентиль
- x = μ + z·σ
Метод
- Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
- Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
- Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
- Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.
Доверительные интервалы
- σ известно
- x̄ ± z·σ/√n
- σ неизвестно
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- Критическое значение z
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Объём выборки
- n = (z·σ/E)², rounded up
Метод
- Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
- Найдите критическое значение для уровня доверия.
- Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
- Интервал: x̄ ± E.
Проверка гипотез и доверительные интервалы
- z-тест для среднего
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- t-тест для среднего
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Двусторонний на уровне 5%
- отвергните H0, если |z| > 1,96
- Доверительный интервал
- x̄ ± z·σ/√n
Метод
- Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
- Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
- Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
- Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.
Линейная регрессия и корреляция
- Суммы квадратов
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Угловой коэффициент
- b = Sxy/Sxx
- Свободный член
- a = ȳ − b·x̄
- Корреляция
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Остаток
- e = y − ŷ
Критерии хи-квадрат
- Статистика критерия
- χ² = Σ(O − E)²/E
- Согласие с распределением
- E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
- Независимость
- E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
- Критические значения (α = 0,05)
- df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
- Решение
- отвергнуть H0, если χ² > χ²crit
2Тренировочные задачи
1.Методы исследования в психологииСредняя
В полевом эксперименте исследователь:
- AМанипулирует НП в реальной обстановке
- BТолько наблюдает, ничем не манипулируя
- CМанипулирует НП в лаборатории
- DАнализирует данные, собранные другими
2.Методы исследования в психологииСложная
Почему многие исследователи считают, что p-значения следует сообщать вместе с величинами эффекта и доверительными интервалами?
- AP-значения показывают вероятность того, что гипотеза верна
- BДоверительные интервалы нужны только в качественных исследованиях
- CP-значение не показывает, насколько велик эффект и насколько точно он оценён
- DВеличины эффекта делают объём выборки несущественным для значимости
3.Описательная статистикаСредняя
Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 33, 11, 45, 23, 12, 19, 56.
n = 7
s =
4.Описательная статистикаСложная
Величина распределена нормально со средним 170 и стандартным отклонением 12. Какая доля P значений больше 152?
μ = 170σ = 12x = 152
P =
5.ВероятностьСредняя
В мешочке 8 красных и 7 синих шаров. Вы вынимаете два шара, не возвращая первый. Какова вероятность P, что оба красные?
8 / 7
P =
6.ВероятностьСложная
В тесте 9 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,1, независимо. Какова вероятность P ровно 2 верных ответов?
n = 9p = 0,1k = 2
P =
7.Нормальное распределениеСредняя
Пусть значения роста взрослых мужчин распределены нормально со средним 178 cm и стандартным отклонением 7 cm. Какая доля значений лежит между 175,9 и 186,75 cm? Дайте P в виде десятичной дроби.
μ = 178σ = 7x1 = 175,9x2 = 186,75
P =
8.Нормальное распределениеСложная
Пусть баллы за экзамен распределены нормально со средним 65 баллов и стандартным отклонением 10 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 20 % значений (20-й процентиль).
μ = 65σ = 10P = 20%
x = баллов
9.Доверительные интервалыСредняя
Выборка из 21 элементов имеет среднее 62,5 и стандартное отклонение s = 7,5. Генеральная совокупность распределена приблизительно нормально. Найдите нижнюю границу 99 % доверительного интервала для среднего.
n = 21x̄ = 62,5s = 7,599%t(20) = 2,845
нижняя граница =
10.Доверительные интервалыСложная
Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 14. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 99 % доверительного интервала для среднего не превышала 2,5?
σ = 14E = 2,599%
n =
11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя
6 сотрудников проходят тест на скорость печати до и после обучающего курса. Для каждого записывается разность d = после − до (слов в минуту). Средняя разность равна 2,29, стандартное отклонение разностей — 1,6. Найдите статистику парного критерия t для H₀: μd = 0.
n = 6d̄ = 2,29sd = 1,6
t =
12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная
Выборка из 25 измерений имеет среднее 44,5. Стандартное отклонение генеральной совокупности — 12. Найдите верхнюю границу U 99 % доверительного интервала для среднего.
x̄ = 44,5σ = 12n = 2599%
U =
13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя
В таблице даны 5 пар наблюдений x = возраст автомобиля в годах и y = цена в k€. Найдите коэффициент детерминации r² прямой наименьших квадратов.
n = 5
r² =
14.Линейная регрессия и корреляцияСложная
В таблице даны 5 пар наблюдений x = расходы на рекламу в k€ и y = продажи в k€. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. Получено новое наблюдение (3,5, 50). Найдите его остаток e = y − ŷ.
n = 5(3,5, 50)
e =
15.Критерии хи-квадратСредняя
Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.
N = 1202 × 2
χ² =
16.Критерии хи-квадратСложная
Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 5 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). По таблице найдите критическое значение χ²crit при уровне значимости α = 0,01.
α = 0,01
χ²crit =
3Растворы
1.Методы исследования в психологии
Ответ: A · Манипулирует НП в реальной обстановке
Почему это ответ
Полевые эксперименты, например инсценированные ситуации помощи на улице, повышают экологическую валидность, но дают меньше контроля над посторонними переменными и порождают проблемы с согласием.
Ответ
A · Манипулирует НП в реальной обстановке
2.Методы исследования в психологии
Ответ: C · P-значение не показывает, насколько велик эффект и насколько точно он оценён
Почему это ответ
P-значение сильно зависит от объёма выборки и лишь показывает, насколько неожиданны данные при нулевой гипотезе. Величины эффекта показывают масштаб, а интервалы — точность.
Ответ
C · P-значение не показывает, насколько велик эффект и насколько точно он оценён
3.Описательная статистика
Ответ: s = 17,07
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Среднее
x̄ = 199/7 = 28,43
Квадраты отклонений
Σ(x − x̄)² = 4,571² + (−17,43)² + 16,57² + (−5,429)² + (−16,43)² + (−9,429)² + 27,57² = 1748
Стандартное отклонение
s = √(1748/6) = 17,07
Ответ
s = 17,07
4.Описательная статистика
Ответ: P = 0,9332
Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.
Стандартизуйте
z = −1,5
Таблица нормального распределения
Φ(−1,5) = 0,06681
P = 1 − 0,06681 = 0,9332
Ответ
P = 0,9332
5.Вероятность
Ответ: P = 0,2667
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Первое и второе извлечение
P = 8/15 · 7/14 = 56/210 = 0,2667
Ответ
P = 0,2667
6.Вероятность
Ответ: P = 0,1722
Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
Формула Бернулли
P(X = 2) = 36·0,12·0,97 = 36·0,01·0,4783 = 0,1722
Ответ
P = 0,1722
7.Нормальное распределение
Ответ: P = 0,5123
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z-оценки
z₁ = (175,9 − 178)/7 = −0,3
z₂ = (186,75 − 178)/7 = 1,25
Площадь между
P = Φ(1,25) − Φ(−0,3) = 0,8944 − 0,3821 = 0,5123
Ответ
P = 0,5123
8.Нормальное распределение
Ответ: x = 56,58 баллов
Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.
z для процентиля
Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416
Обратно к x
x = 65 + −0,8416·10 = 56,58 баллов
Ответ
x = 56,58 баллов
9.Доверительные интервалы
Ответ: нижняя граница = 57,84
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Критическое значение
df = n − 1 = 20, t = 2,845
Предельная ошибка
E = 2,845·7,5/√21 = 4,656
Интервал
62,5 ± 4,656 → [57,84, 67,16]
Ответ
нижняя граница = 57,84
10.Доверительные интервалы
Ответ: n = 209
Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.
Выразите n
n = (2,576·14/2,5)² = 208,1
Округлите вверх
Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.
n = 209
Ответ
n = 209
11.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: t = 3,506
Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).
Стандартная ошибка средней разности
SE = 1,6/√6 = 0,6532
Статистика критерия
t = 2,29/0,6532 = 3,506
Ответ
t = 3,506
При df = 5 двустороннее критическое значение на уровне 5 % равно 2,571; |t| больше, поэтому H₀ отвергается.
12.Проверка гипотез и доверительные интервалы
Ответ: U = 50,68
Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).
Предельная ошибка
E = 2,576·12/√25 = 6,182
Граница интервала
U = 44,5 + 6,182 = 50,68
Ответ
U = 50,68
13.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: r² = 0,9245
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 123/5 = 24,6
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14
Syy = Σ(y − ȳ)² = 21,2
Коэффициент детерминации
r² = −14²/(10·21,2) = 0,9245
Ответ
r² = 0,9245
Прямая объясняет около 92,45% вариации y.
14.Линейная регрессия и корреляция
Ответ: e = 2,65
Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.
Средние
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 272/5 = 54,4
Суммы квадратов и произведений
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 47
Линия регрессии
b = 47/10 = 4,7
a = 54,4 − 4,7·5 = 30,9
ŷ = 30,9 + 4,7·x
Прогнозируемое значение
ŷ = 30,9 + 4,7·3,5 = 47,35
Остаток
e = 50 − 47,35 = 2,65
Ответ
e = 2,65
Точка лежит выше прямой.
15.Критерии хи-квадрат
Ответ: χ² = 0,625
Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.
Ожидаемые частоты
курящие: 40·72/120 = 24, 40·48/120 = 16
некурящие: 80·72/120 = 48, 80·48/120 = 32
Статистика хи-квадрат
χ² = (22 − 24)²/24 + (18 − 16)²/16 + (50 − 48)²/48 + (30 − 32)²/32
χ² = 0,625
Ответ
χ² = 0,625
df = 1. При α = 0,05 критическое значение равно 3,841, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.
16.Критерии хи-квадрат
Ответ: χ²crit = 13,28
Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.
Степени свободы
df = 5 − 1 = 4
Таблица
χ²crit(df = 4, α = 0,01) = 13,277
Ответ
χ²crit = 13,277
Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.
ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology