Методы исследования и статистика в психологии: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (16) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Описательная статистика

Среднее: x̄ = Σx/n
Выборочное стандартное отклонение: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Медиана: срединное значение упорядоченных данных
z-оценка: z = (x − μ)/σ
Нормальное распределение: 68% в пределах ±1σ, 95% в пределах ±2σ

Вероятность

Противоположное событие: P(not A) = 1 − P(A)
Правило сложения: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Независимые события: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Условная вероятность: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Биномиальное распределение: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Нормальное распределение

z-оценка: z = (x − μ)/σ
Меньше x: P(X < x) = Φ(z)
Больше x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Между: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Процентиль: x = μ + z·σ

Метод

Переведите значение в z-оценку: z = (x − μ)/σ.
Найдите по таблице Φ(z) — площадь слева от z.
Для площади справа используйте 1 − Φ(z); для интервала вычтите две площади слева.
Для процентиля действуйте в обратном порядке: найдите z по площади, затем x = μ + z·σ.

Доверительные интервалы

σ известно: x̄ ± z·σ/√n
σ неизвестно: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
Критическое значение z: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Объём выборки: n = (z·σ/E)², rounded up

Метод

Выберите между z (известна σ генеральной совокупности) и t (известно только выборочное s, n − 1 степеней свободы).
Найдите критическое значение для уровня доверия.
Предельная ошибка: E = критическое значение × стандартное отклонение/√n.
Интервал: x̄ ± E.

Проверка гипотез и доверительные интервалы

z-тест для среднего: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
t-тест для среднего: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Двусторонний на уровне 5%: отвергните H₀, если |z| > 1,96
Доверительный интервал: x̄ ± z·σ/√n

Метод

Сформулируйте H₀ и H₁ и решите, односторонний критерий или двусторонний.
Вычислите статистику критерия: (x̄ − μ₀)/(σ/√n) или с s и t.
Сравните с критическим значением или найдите p-значение.
Отвергните H₀, если статистика выходит за критическое значение (p меньше α), и сформулируйте вывод словами.

Линейная регрессия и корреляция

Суммы квадратов: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Угловой коэффициент: b = S_xy/S_xx
Свободный член: a = ȳ − b·x̄
Корреляция: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Остаток: e = y − ŷ

Критерии хи-квадрат

Статистика критерия: χ² = Σ(O − E)²/E
Согласие с распределением: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Независимость: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Критические значения (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Решение: отвергнуть H₀, если χ² > χ²_crit

2Тренировочные задачи

1.Методы исследования в психологииСредняя

Внутренняя валидность означает:

AРаспространяются ли выводы за пределы исследования на другие популяции, условия и время
BБыло ли участникам интересно исследование
CДействительно ли наблюдаемый эффект вызван НП, а не другими факторами
DДаёт ли тест одинаковые результаты со временем

2.Методы исследования в психологииСложная

Исследователь использует опросник, интервью и наблюдение для изучения стресса на работе, и результаты совпадают. Как называется такой подход?

AКонтрбалансировка
BТриангуляция
CРепликация
DСтратификация

3.Описательная статистикаСредняя

Найдите выборочное стандартное отклонение s данных: 26, 18, 42, 29, 52, 23, 11.

n = 7

s =

4.Описательная статистикаСложная

Баллы за экзамен распределены нормально со средним 50 и стандартным отклонением 10. Найдите z-оценку z для результата 35.

μ = 50σ = 10x = 35

z =

5.ВероятностьСредняя

Для показанного распределения найдите дисперсию Var(X) величины X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,35, 0,35, 0,05, 0,15, 0,1

Var(X) =

6.ВероятностьСложная

В тесте 12 вопросов с вариантами ответов. Студентка, которая угадывает, отвечает верно на каждый с вероятностью 0,6, независимо. Какова вероятность P ровно 5 верных ответов?

n = 12p = 0,6k = 5

P =

7.Нормальное распределениеСредняя

Массы объектов (коробки) независимы и нормально распределены со средним 12 kg и стандартным отклонением 0,8 kg. Найдите вероятность P того, что общая масса 9 из них превышает 106,8 kg. Округлите z до двух знаков после запятой.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 9> 106,8 kg

P =

8.Нормальное распределениеСложная

Пусть результаты IQ-тестов распределены нормально со средним 100 баллов и стандартным отклонением 15 баллов. Найдите значение x, ниже которого лежат 10 % значений (10-й процентиль).

μ = 100σ = 15P = 10%

x = баллов

9.Доверительные интервалыСредняя

Сравнивается время работы аккумулятора двух моделей телефонов. Модель 1: 60 телефонов, среднее 128,5 h, известное стандартное отклонение 12 h. Модель 2: 30 телефонов, среднее 136,5 h, известное стандартное отклонение 6 h. Найдите верхнюю границу 90 % доверительного интервала для μ₁ − μ₂.

n₁ = 60x̄₁ = 128,5 hσ₁ = 12 hn₂ = 30x̄₂ = 136,5 hσ₂ = 6 h90%

верхняя граница = h

10.Доверительные интервалыСложная

Стандартное отклонение генеральной совокупности равно 37. Какой объём выборки n нужен, чтобы предельная ошибка 90 % доверительного интервала для среднего не превышала 3?

σ = 37E = 390%

n =

11.Проверка гипотез и доверительные интервалыСредняя

Выборка из 49 студентов имеет средний балл 497,6 и выборочное стандартное отклонение 12. Найдите статистику критерия t для H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 497,6s = 12n = 49

t =

12.Проверка гипотез и доверительные интервалыСложная

В исследовании выздоравливают 53 из 150 пациентов, получавших лечение A, и 28 из 120 пациентов, получавших лечение B. Используя объединённую долю, найдите статистику критерия z для H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 53n₁ = 150x₂ = 28n₂ = 120

z =

13.Линейная регрессия и корреляцияСредняя

В таблице даны 5 пар наблюдений x = температура в °C и y = продано мороженого. Даны их суммы. Найдите по этим суммам коэффициент корреляции Пирсона r.

n = 5Σx = 105Σy = 219Σx² = 2295Σy² = 10475Σxy = 4872

r =

14.Линейная регрессия и корреляцияСложная

В таблице даны 5 пар наблюдений x = часов подготовки и y = балл за экзамен. Используйте прямую наименьших квадратов ŷ = a + b·x. При каком значении x прямая прогнозирует ŷ = 62?

n = 5ŷ = 62

x =

15.Критерии хи-квадратСредняя

Таблица сопряжённости содержит наблюдаемые частоты. Вычислите статистику хи-квадрат χ² для проверки независимости переменных строк и столбцов. Поправку на непрерывность не применяйте.

N = 1602 × 3

χ² =

16.Критерии хи-квадратСложная

Критерий согласия хи-квадрат сравнивает наблюдаемые частоты в 4 категориях с полностью заданными ожидаемыми долями (параметры по данным не оцениваются). По таблице найдите критическое значение χ²_crit при уровне значимости α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3Растворы

1.Методы исследования в психологии

Ответ: C · Действительно ли наблюдаемый эффект вызван НП, а не другими факторами

Почему это ответ

Высокая внутренняя валидность означает, что альтернативные объяснения, такие как конфаунды, требовательные характеристики или предвзятость экспериментатора, исключены. Внешняя валидность касается обобщения.

Ответ

C · Действительно ли наблюдаемый эффект вызван НП, а не другими факторами

2.Методы исследования в психологии

Ответ: B · Триангуляция

Почему это ответ

Триангуляция использует несколько методов, источников или исследователей. Согласие между ними повышает уверенность в валидности результатов.

Ответ

B · Триангуляция

3.Описательная статистика

Ответ: s = 14,07

Описательная статистика: среднее — сумма, делённая на n; медиана — середина упорядоченных данных (среднее двух средних значений при чётном n). Выборочное стандартное отклонение s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). z-оценка z = (x − μ)/σ показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего.

Среднее

x̄ = 201/7 = 28,71

Квадраты отклонений

Σ(x − x̄)² = (−2,714)² + (−10,71)² + 13,29² + 0,2857² + 23,29² + (−5,714)² + (−17,71)² = 1187

Стандартное отклонение

s = √(1187/6) = 14,07

Ответ

s = 14,07

4.Описательная статистика

Ответ: z = −1,5

Стандартизуйте

z = (35 − 50)/10 = −1,5

Ответ

z = −1,5

5.Вероятность

Ответ: Var(X) = 1,81

Дискретные случайные величины: распределение вероятностей перечисляет все значения x, которые может принять величина, с их вероятностями p(x); вероятности лежат между 0 и 1, а их сумма равна 1. Математическое ожидание (среднее) равно E(X) = Σx·p(x), это долгосрочное среднее значение. Дисперсия равна Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², а стандартное отклонение σ = √Var(X). При линейном преобразовании Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) и σ_Y = |a|·σ_X; прибавление константы не меняет разброс.

Среднее

μ = 1·0,35 + 2·0,35 + 3·0,05 + 4·0,15 + 5·0,1 = 2,3

Среднее квадратов

E(X²) = 1·0,35 + 4·0,35 + 9·0,05 + 16·0,15 + 25·0,1 = 7,1

Дисперсия

Var(X) = 7,1 − 2,3² = 1,81

Ответ

Var(X) = 1,81

6.Вероятность

Ответ: P = 0,1009

Вероятность: при равновозможных исходах P(A) = благоприятные/все. Для независимых событий вероятности перемножают: P(A и B) = P(A)·P(B). Часто помогает противоположное событие: P(хотя бы одно) = 1 − P(ни одного). Биномиальное распределение: в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Формула Бернулли

P(X = 5) = 792·0,6⁵·0,4⁷ = 792·0,07776·0,001638 = 0,1009

Ответ

P = 0,1009

7.Нормальное распределение

Ответ: P = 0,6915

Суммы и разности нормальных величин: если X и Y независимы и нормальны, то X + Y и X − Y тоже нормальны. Средние складываются или вычитаются: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Дисперсии всегда складываются, в том числе для разности: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², поэтому σ = √(σ_X² + σ_Y²). Стандартные отклонения напрямую никогда не складываются. Сумма n независимых элементов с одинаковым распределением имеет среднее n·μ и стандартное отклонение σ·√n. Затем стандартизируйте как обычно: z = (x − среднее)/σ и найдите Φ(z).

Распределение суммы

μ_T = 108 kg, σ_T = 0,8·√9 = 2,4 kg

Стандартизуйте

z = (106,8 − 108)/2,4 = −0,5

Вероятность

P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915

Ответ

P = 0,6915

8.Нормальное распределение

Ответ: x = 80,78 баллов

Нормальное распределение: переведите значение x в z-оценку z = (x − μ)/σ, которая показывает, на сколько стандартных отклонений значение отстоит от среднего. Таблица z (или Φ(z)) даёт площадь слева от z, то есть P(X < x). Площадь справа равна 1 − Φ(z), а площадь между двумя значениями — разности их площадей слева.

z для процентиля

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

Обратно к x

x = 100 + −1,282·15 = 80,78 баллов

Ответ

x = 80,78 баллов

9.Доверительные интервалы

Ответ: верхняя граница = −4,879 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Точечная оценка

x̄₁ − x̄₂ = 128,5 − 136,5 = −8

Стандартная ошибка

SE = √(12²/60 + 6²/30) = 1,897

Предельная ошибка

E = 1,645·1,897 = 3,121

Интервал

−8 ± 3,121 → [−11,12, −4,879]

Ответ

верхняя граница = −4,879 h

Интервал не содержит 0, поэтому средние значимо различаются.

10.Доверительные интервалы

Ответ: n = 412

Доверительный интервал для среднего: x̄ ± предельная ошибка. При известном σ генеральной совокупности предельная ошибка равна z·σ/√n; если известно только выборочное стандартное отклонение s, используйте t с n − 1 степенями свободы: t·s/√n. Критические значения: z = 1,645 (90 %), 1,96 (95 %), 2,576 (99 %). Чтобы предельная ошибка не превышала E, нужен объём выборки n ≥ (z·σ/E)², округлённый вверх.

Выразите n

n = (1,645·37/3)² = 411,6

Округлите вверх

Объём выборки — целое число, а округление вниз сделало бы предельную ошибку слишком большой.

n = 412

Ответ

n = 412

11.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: t = −1,4

Проверка среднего: статистика критерия показывает, на сколько стандартных ошибок выборочное среднее отстоит от значения из H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n), если σ известно, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), если его оценивают по выборке. Доверительный интервал — x̄ ± (критическое значение)·(стандартная ошибка).

Стандартная ошибка

SE = 12/√49 = 12/7 = 1,714

Статистика критерия

t = (497,6 − 500)/1,714 = −1,4

Ответ

t = −1,4

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, поэтому H₀ не отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

12.Проверка гипотез и доверительные интервалы

Ответ: z = 2,138

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Выборочные доли

p̂₁ = 53/150 = 0,3533

p̂₂ = 28/120 = 0,2333

p̂ = 81/270 = 0,3

Стандартная ошибка при H₀

SE = √(0,3·0,7·(1/150 + 1/120)) = 0,05612

Статистика критерия

z = (0,3533 − 0,2333)/0,05612 = 2,138

Ответ

z = 2,138

|z| > 1,96, поэтому H₀ отвергается на уровне 5 % (двусторонний критерий).

13.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: r = 0,9685

Метод наименьших квадратов: при средних x̄ и ȳ, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² и Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) прямая ŷ = a + b·x имеет угловой коэффициент b = Sxy/Sxx и свободный член a = ȳ − b·x̄, поэтому она всегда проходит через (x̄, ȳ). Коэффициент корреляции Пирсона r = Sxy/√(Sxx·Syy) лежит между −1 и 1; r² — доля вариации y, объяснённая прямой.

Центрированные суммы

S_xy = 4872 − 105·219/5 = 273

S_xx = 2295 − 105²/5 = 90

S_yy = 10475 − 219²/5 = 882,8

Коэффициент корреляции

r = 273/√(90·882,8) = 0,9685

Ответ

r = 0,9685

14.Линейная регрессия и корреляция

Ответ: x = 4,5

Средние

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 320/5 = 64

Суммы квадратов и произведений

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 40

Линия регрессии

b = 40/10 = 4

a = 64 − 4·5 = 44

ŷ = 44 + 4·x

Найдите x

x = (62 − 44)/4 = 4,5

Ответ

x = 4,5

15.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ² = 2,8

Критерии хи-квадрат: сравнивают наблюдаемые частоты O с частотами E, ожидаемыми при H₀, по формуле χ² = Σ(O − E)²/E. Согласие с распределением: E = n·p для каждой категории, df = k − 1 (и ещё минус один за каждый параметр, оцениваемый по данным). Независимость в таблице r × c: E = итог по строке × итог по столбцу / общий итог, df = (r − 1)(c − 1). Отвергайте H₀, когда χ² превышает критическое значение для выбранного α.

Ожидаемые частоты

дневная смена: 80·32/160 = 16, 80·72/160 = 36, 80·56/160 = 28

ночная смена: 80·32/160 = 16, 80·72/160 = 36, 80·56/160 = 28

Статистика хи-квадрат

χ² = (13 − 16)²/16 + (41 − 36)²/36 + (26 − 28)²/28 + (19 − 16)²/16 + (31 − 36)²/36 + (30 − 28)²/28

χ² = 2,8

Ответ

χ² = 2,8

df = 2. При α = 0,05 критическое значение равно 5,991, поэтому H₀ (независимость) не отвергается.

16.Критерии хи-квадрат

Ответ: χ²_crit = 11,35

Степени свободы

df = 4 − 1 = 3

Таблица

χ²_crit(df = 3, α = 0,01) = 11,345

Ответ

χ²_crit = 11,345

Отвергайте H₀, если вычисленное χ² больше этого значения.

ExamProblems · examproblems.com/courses/research-methods-psychology