Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите значение k, при котором векторы a = (−1, 4, 3) и b = (k, 3, 1) перпендикулярны.

a = (−1, 4, 3)b = (k, 3, 1)

k =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите площадь A треугольника с вершинами A(−1, 1, 2), B(4, 3, 4) и C(−1, 2, −2). Координаты даны в метрах.

A(−1, 1, 2)B(4, 3, 4)C(−1, 2, −2)

A = m²

3.Опорные реакции балокСредняя

Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 3 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию R_A, считая положительным направление вверх.

AB = 3 mAC = 5 mP₁ = 65 kN в 2 mP₂ = 10 kN в 5 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена линейно изменяющейся нагрузкой, равной нулю у стены и возрастающей до 4 kN/m на свободном конце B, а также сосредоточенной силой P на расстоянии 7 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 8 mw₀ = 4 kN/mP = 45 kN в 7 m

M_A = kN·m

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 3 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 40 kN

F_AC = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

D: 15 kN ↓F: 25 kN ↓H: 10 kN ↓H: 15 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

7.Рамы и механизмыСредняя

Горизонтальная балка AB закреплена шарниром на стене в A и подпёрта стойкой CD, закреплённой шарниром на стене в C, на 0,8 m ниже A. В точке B подвешена нагрузка 12 kN. Весом пренебрегите. Найдите модуль силы A в шарнире, действующей на балку в A.

P = 12 kNAD = 1,5 mAB = 3,6 mAC = 0,8 m

A = kN

8.Рамы и механизмыСложная

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 3 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 2 m и стянуты горизонтальной перемычкой DE на высоте 0,8 m. В точке C действует горизонтальная сила 20 kN, направленная вправо. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 20 kNAB = 3 mвысота C = 2 mвысота DE = 0,8 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите поперечную силу V_x в сечении x = 4,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mw = 5 kN/m от 0 до 8 mx = 4,5 m

V_x = kN

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 2 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 8 mP = 30 kN в 2 mw = 10 kN/m от 0 до 8 mx = 2 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Найдите момент инерции I_x таврового сечения относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 30 kN·m. Найдите величину напряжения изгиба σ_верх на верхнем крае.

b_f = 240 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 200 mmM = 30 kN·m

σ_верх = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: k = 15

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение равно нулю

a·b = (−1)·k + 4·3 + 3·1 = 0

15 + (−1)·k = 0

Найдите k

k = −15/(−1) = 15

Ответ

k = 15

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: A = 11,46 m²

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторы сторон

AB = B − A = (5, 2, 2)

AC = C − A = (0, 1, −4)

Векторное произведение

(AB × AC)_x = AB_yAC_z − AB_zAC_y = 2·(−4) − 2·1 = −10

(AB × AC)_y = AB_zAC_x − AB_xAC_z = 2·0 − 5·(−4) = 20

(AB × AC)_z = AB_xAC_y − AB_yAC_x = 5·1 − 2·0 = 5

|AB × AC| = √((−10)² + 20² + 5²) = 22,91

Площадь треугольника

A = ½·22,91 = 11,46 m²

Ответ

A = 11,46 m²

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 15 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 65·2 + 10·5

R_B = 180/3 = 60 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 65 + 10 − 60 = 15 kN

Ответ

R_A = 15 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 400,3 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая треугольной нагрузки

W = ½·4·8 = 16 kN

x̄ = 2L/3 = 5,333 m

Момент относительно стены

M_A = W·x̄ + P·a = 16·5,333 + 45·7 = 400,3 kN·m

Ответ

M_A = 400,3 kN·m

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 10 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 40·1 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 10 = 30 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0,7071 = −14,14 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−14,14)·0,7071 = 10 kN

Ответ

F_AC = 10 kN (растяжение)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 22,08 kN (T), BC: 25,83 kN (T), CD: 25,83 kN (T), DE: 29,58 kN (T), FG: 37,08 kN (C), GH: 44,58 kN (C), AF: 46,35 kN (C), HE: 36,98 kN (C), BF: 2,813 kN (T), CG: 0, DH: 12,19 kN (T), BG: 4,688 kN (C), DG: 4,687 kN (T)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Рамы и механизмы

Ответ: A = 56,55 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в стойке

F_CD = 12·3,6/(0,4706·1,5) = 61,2 kN

Составляющие в A

A_x = F_CD·cos α = 54 kN (к стене)

A_y = 12 − F_CD·sin α = −16,8 kN

Модуль

A = √(54² + −16,8²) = 56,55 kN

Ответ

A = 56,55 kN

Отрицательное A_y означает, что стена тянет балку вниз в точке A.

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 16,67 kN

Вся рама: моменты относительно A

B_y·3 = 20·2

B_y = 13,33 kN

Ножка BC: моменты относительно C

13,33·1,5 = T·1,2

T = 16,67 kN

Ответ

T = 16,67 kN

Положительное T означает, что затяжка растянута, как и предполагалось.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: V_x = −2,5 kN

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 5·8·4

R_B = 160/8 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Рассеките в x = 4,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

V = R_A − (все нагрузки вниз левее сечения)

V_x = 20 − 5·4,5 = −2,5 kN

Ответ

V_x = −2,5 kN

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 105 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, приложена в x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·2 + 10·8·4

R_B = 380/8 = 47,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 47,5 = 62,5 kN

Рассеките в x = 2 m и оставьте левую часть

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 62,5·2 − 10·2·1 = 105 kN·m

Ответ

M_x = 105 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 8,871 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147,5 mm

стенка: A_w = 14·140 = 1960 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·147,5 + 1960·70)/3760 = 107,1 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 120·15³/12 + 1800·(147,5 − 107,1)² = 2,971 × 10⁶ mm⁴

стенка: 14·140³/12 + 1960·(70 − 107,1)² = 5,899 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,971 × 10⁶ + 5,899 × 10⁶ = 8,871 × 10⁶ mm⁴ = 8,871 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 8,871 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_верх = 37,32 MPa

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 240·30 = 7200 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

стенка: A_w = 16·200 = 3200 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7200·215 + 3200·100)/10400 = 179,6 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 240·30³/12 + 7200·(215 − 179,6)² = 9,555 × 10⁶ mm⁴

стенка: 16·200³/12 + 3200·(100 − 179,6)² = 3,095 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,555 × 10⁶ + 3,095 × 10⁷ = 4,051 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Верхний край на расстоянии h − ȳ от оси.

y = 230 − 179,6 = 50,38 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·50,38/4,051 × 10⁷ = 37,32 MPa

Ответ

σ_верх = 37,32 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics