Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (−4, 6, −2) на b = (2, 2, −5), то есть компоненту a в направлении b.

a = (−4, 6, −2)b = (2, 2, −5)

comp_b a =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (−60, 50, 60) N действует в точке A(−4, 4, 3). Координаты даны в метрах. Найдите модуль |M| момента силы относительно начало координат O(0, 0, 0).

F = (−60, 50, 60) NA(−4, 4, 3) mO(0, 0, 0) m

|M| = N·m

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 10 mP₁ = 60 kN в 3 mP₂ = 20 kN в 5 m

R_A = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. На расстоянии 2 m от A действует сила P, наклонённая под углом 45° к горизонтали, а на расстоянии 7 m от A — вертикальная сила Q. Найдите угол α между полной силой реакции в шарнире A и горизонталью.

L = 8 mP = 70 kN в 2 m, θ = 45°Q = 10 kN в 7 m

α = °

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

G: 10 kN ↓

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 4 mB на расстоянии 3 m от Aвертикальная нагрузка = 55 kNгоризонтальная нагрузка = 25 kN ←

F_AC = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 5 m друг от друга. Ножки сходятся в шарнире C на высоте 2,5 m, а горизонтальная затяжка DE находится на 1,2 m над землёй. В точке C действует нагрузка 10 kN. Найдите модуль силы C, с которой шарнир C действует на ножку BC.

P = 10 kNAB = 5 mвысота C = 2,5 mвысота DE = 1,2 m

C = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Однородная горизонтальная стрела AB весом 2 kN закреплена шарниром на стене в A и удерживается тросом от её конца B до точки C на стене на 1 m выше A. В точке B подвешена нагрузка 8 kN. Найдите натяжение T троса.

W = 8 kNW_b = 2 kNAB = 2 mAC = 1 m

T = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Найдите поперечную силу V_x в сечении x = 3,5 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 5 mw = 8 kN/m от 0 до 5 mx = 3,5 m

V_x = kN

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Балка опирается на неподвижный шарнир в A и подвижную опору в B и имеет консольный свес длиной 2,5 m за B до свободного конца C. Равномерно распределённая нагрузка w действует по всей длине A–C. Найдите расстояние x_c от A до точки перегиба между опорами (где изгибающий момент меняет знак).

L = 8,5 mw = 3 kN/m от 0 до 8,5 mопоры при x = 0 и x = 6 m

x_c = m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 200 mm × 150 mm имеет круглое отверстие диаметром 50 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 60 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 200 mmh = 150 mmd = 50 mmцентр отверстия: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 10 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mmM = 10 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = 2,437

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = (−4)·2 + 6·2 + (−2)·(−5) = 14

Длина b

|b| = √(2² + 2² + (−5)²) = 5,745

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = 14/5,745 = 2,437

Ответ

comp_b a = 2,437

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: |M| = 115,3 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (−4, 4, 3) − (0, 0, 0) = (−4, 4, 3) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 4·60 − 3·50 = 90 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 3·(−60) − (−4)·60 = 60 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = (−4)·50 − 4·(−60) = 40 N·m

Модуль

|M| = √(90² + 60² + 40²) = 115,3 N·m

Ответ

|M| = 115,3 N·m

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 52 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·3 + 20·5

R_B = 280/10 = 28 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 28 = 52 kN

Ответ

R_A = 52 kN

4.Опорные реакции балок

Ответ: α = 37,78 °

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Составляющие P

P_v = 70·sin 45° = 49,5 kN

P_h = 70·cos 45° = 49,5 kN

Реакции

ΣM_A = 0: R_B·8 = 49,5·2 + 10·7 → R_B = 21,12 kN

A_y = 49,5 + 10 − 21,12 = 38,37 kN

A_x = P_h = 49,5 kN

Направление реакции в A

α = atan(A_y/A_x) = atan(38,37/49,5) = 37,78°

Ответ

α = 37,78°

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 3,75 kN (T), BC: 7,5 kN (T), CD: 7,5 kN (T), DE: 3,75 kN (T), FG: 3,75 kN (C), GH: 3,75 kN (C), AF: 6,25 kN (C), HE: 6,25 kN (C), BF: 5 kN (T), CG: 0, DH: 5 kN (T), BG: 6,25 kN (C), DG: 6,25 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = 6,5 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 55·3 − 25·4 → C_y = 13 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 13 = 42 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −13/0,8944 = −14,53 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−14,53)·0,4472 = 6,5 kN

Ответ

F_AC = 6,5 kN (растяжение)

7.Рамы и механизмы

Ответ: C = 10,84 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Сила в затяжке из ножки BC

B_y = 5 kN

T = 5·2,5/1,3 = 9,615 kN

Составляющие силы в шарнире на BC

C_x = T = 9,615 kN, C_y = −B_y = −5 kN

Модуль

C = √(9,615² + 5²) = 10,84 kN

Ответ

C = 10,84 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: T = 20,12 kN

Угол троса

BC = √(2² + 1²) = 2,236 m, sin β = 0,4472

Моменты относительно A

T·0,4472·2 = 8·2 + 2·1

T = 20,12 kN

Ответ

T = 20,12 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: V_x = −8 kN

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, приложена в x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·5·2,5

R_B = 100/5 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

Рассеките в x = 3,5 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

V = R_A − (все нагрузки вниз левее сечения)

V_x = 20 − 8·3,5 = −8 kN

Ответ

V_x = −8 kN

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: x_c = 4,958 m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки с учётом нагрузки на консольном свесе.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·8,5 = 25,5 kN, приложена в x̄ = 4,25 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·8,5·4,25

R_B = 108,4/6 = 18,06 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25,5 − 18,06 = 7,438 kN

Нулевой момент

Между опорами M(x) = R_A·x − w·x²/2. Кроме x = 0, он равен нулю при x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·7,438/3 = 4,958 m

Ответ

x_c = 4,958 m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 55,47 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (30000·75 − 1963·60)/(30000 − 1963) = 76,05 mm

Целая пластина относительно ȳ

200·150³/12 + 30000·−1,051² = 56,28 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−16,05² = 0,8126 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 55,47 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 55,47 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 30,12 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 260 + 15/2 = 267,5 mm

стенка: A_w = 18·260 = 4680 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·267,5 + 4680·130)/7680 = 183,7 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 200·15³/12 + 3000·(267,5 − 183,7)² = 2,112 × 10⁷ mm⁴

стенка: 18·260³/12 + 4680·(130 − 183,7)² = 3,987 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,112 × 10⁷ + 3,987 × 10⁷ = 6,098 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 183,7 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·183,7/6,098 × 10⁷ = 30,12 MPa

Ответ

σ_низ = 30,12 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics