Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите скалярную проекцию comp_b a вектора a = (7, −7, −6) на b = (4, 5, −3), то есть компоненту a в направлении b.

a = (7, −7, −6)b = (4, 5, −3)

comp_b a =

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Найдите объём V параллелепипеда, рёбра которого из одной вершины равны a = (1, 5, 2), b = (0, −4, −4) и c = (−1, −5, 1).

a = (1, 5, 2)b = (0, −4, −4)c = (−1, −5, 1)

V =

3.Опорные реакции балокСредняя

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Она нагружена сосредоточенной силой P на расстоянии 1,5 m от A и сосредоточенным моментом M, направленным по часовой стрелке, на расстоянии 3,5 m от A. Найдите вертикальную реакцию R_B, считая положительным направление вверх.

L = 5 mP = 35 kN в 1,5 mM = 40 kN·m (по часовой стрелке) в 3,5 m

R_B = kN

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 8 mP = 45 kN в 7 mw = 4 kN/m от 4 до 7 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 4 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 35 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 4 mвысота = 3 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 55 kNгоризонтальная нагрузка = 20 kN ←

F_AC = kN

7.Рамы и механизмыСредняя

A-образная рама на рисунке стоит на шарнире в A и катке в B на расстоянии 3 m друг от друга, её верхний шарнир C находится на высоте 4,5 m, а горизонтальная затяжка DE — на 1 m над землёй. Вертикальная нагрузка 10 kN действует на ножку AC в точке K на расстоянии 0,75 m (по горизонтали) от A. Найдите натяжение T в затяжке.

P = 10 kNAB = 3 mвысота C = 4,5 mвысота DE = 1 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,75 m

T = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Балка AB показанного настенного кронштейна закреплена шарниром в A и подпёрта стойкой CD (C находится на 0,75 m ниже A). Балка несёт равномерную нагрузку 4 kN/m по всей длине и сосредоточенную нагрузку 6 kN на свободном конце B. Найдите силу F_CD в стойке.

w = 4 kN/mP = 6 kNAD = 1,5 mAB = 3,6 mAC = 0,75 m

F_CD = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Консоль защемлена в A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w по всей длине и сосредоточенной силой P на расстоянии 0,5 m от A. Найдите изгибающий момент M_A в заделке A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 2 mP = 70 kN в 0,5 mw = 10 kN/m от 0 до 2 m

M_A = kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Найдите изгибающий момент M_x в сечении x = 3 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.

L = 4 mP = 45 kN в 1,5 mw = 3 kN/m от 0 до 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Пластина 150 mm × 200 mm имеет круглое отверстие диаметром 30 mm на вертикальной оси симметрии, центр которого находится на высоте 120 mm над низом. Найдите момент инерции сечения I_x относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести.

b = 150 mmh = 200 mmd = 30 mmцентр отверстия: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Тавровое сечение работает как балка с полкой сверху и воспринимает положительный изгибающий момент 5 kN·m. Найдите напряжение изгиба σ_низ на нижнем крае.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mmM = 5 kN·m

σ_низ = MPa

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: comp_b a = 1,556

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = 7·4 + (−7)·5 + (−6)·(−3) = 11

Длина b

|b| = √(4² + 5² + (−3)²) = 7,071

Скалярная проекция

comp_b a = a·b/|b| = 11/7,071 = 1,556

Ответ

comp_b a = 1,556

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: V = 12

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Векторное произведение b × c

(b × c)_x = b_yc_z − b_zc_y = (−4)·1 − (−4)·(−5) = −24

(b × c)_y = b_zc_x − b_xc_z = (−4)·(−1) − 0·1 = 4

(b × c)_z = b_xc_y − b_yc_x = 0·(−5) − (−4)·(−1) = −4

Скалярное произведение с a

a·(b × c) = 1·(−24) + 5·4 + 2·(−4) = −12

V = |−12| = 12

Ответ

V = 12

3.Опорные реакции балок

Ответ: R_B = 18,5 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.

Моменты относительно A

Против часовой стрелки — положительно.

ΣM_A = 0: R_B·5 − 35·1,5 − 40 = 0

R_B = 92,5/5 = 18,5 kN

Равновесие по вертикали

R_A = 35 − 18,5 = 16,5 kN

Ответ

R_B = 18,5 kN

Отрицательная реакция направлена вниз.

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 9,375 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 4·3 = 12 kN, приложена в x̄ = 5,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·7 + 4·3·5,5

R_B = 381/8 = 47,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 47,63 = 9,375 kN

Ответ

R_A = 9,375 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −27,06 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 35·1 → C_y = 8,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 8,75 = 26,25 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 4/4,123 = 0,9701

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −26,25/0,9701 = −27,06 kN

Ответ

F_AB = −27,06 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AC = −1,25 kN

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 55·1 − 20·3 → C_y = −1,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − −1,25 = 56,25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

Узел C

Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−1,25/0,7071 = 1,768 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(1,768)·0,7071 = −1,25 kN

Ответ

F_AC = −1,25 kN (сжатие)

7.Рамы и механизмы

Ответ: T = 1,071 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Вся рама: моменты относительно A

B_y = 10·0,75/3 = 2,5 kN

Ножка BC: моменты относительно C

2,5·1,5 = T·3,5

T = 1,071 kN

Ответ

T = 1,071 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: F_CD = 70,84 kN

Равнодействующая равномерной нагрузки

w·L = 4·3,6 = 14,4 kN в 1,8 m

Моменты относительно A для балки

F_CD·0,4472·1,5 = 14,4·1,8 + 6·3,6 = 47,52 kN·m

F_CD = 70,84 kN

Ответ

F_CD = 70,84 kN

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_A = −55 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.

Оставляем часть со свободным концом

P: −70·0,5 = −35 kN·m

w: −10·2²/2 = −20 kN·m

M_A = −35 − 20 = −55 kN·m

Ответ

M_A = −55 kN·m

Знак минус означает, что растянута верхняя грань.

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_x = 21,38 kN·m

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·1,5 + 3·4·2

R_B = 91,5/4 = 22,88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 57 − 22,88 = 34,13 kN

Рассеките в x = 3 m и оставьте левую часть

Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.

M = R_A·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)

M_x = 34,13·3 − 45·(3 − 1,5) − 3·3·1,5 = 21,38 kN·m

Ответ

M_x = 21,38 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 99,67 × 10⁶ mm⁴

Сечения с отверстиями: считайте отверстие отрицательной площадью. Центр тяжести равен ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), где A₁, y₁ относятся к целой пластине, а A₂, y₂ — к отверстию. Для момента инерции сечения относительно центральной оси применяйте теорему о параллельных осях для каждой части и вычитайте отверстие: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), где d — расстояние от собственного центра тяжести каждой части до оси, проходящей через ȳ. Для прямоугольника I_c = bh³/12, для круга I_c = πd⁴/64.

Центр тяжести

ȳ = (30000·100 − 706,9·120)/(30000 − 706,9) = 99,52 mm

Целая пластина относительно ȳ

150·200³/12 + 30000·0,4826² = 100 × 10⁶ mm⁴

Отверстие относительно ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·20,48² = 0,3363 × 10⁶ mm⁴

Вычтите

I_x = 99,67 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 99,67 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: σ_низ = 29,99 MPa

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбейте на два прямоугольника

Отсчитывайте каждое y от нижнего края.

полка: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

стенка: A_w = 8·240 = 1920 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Центр тяжести

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·255 + 1920·120)/10320 = 229,9 mm

Теорема о параллельном переносе осей

полка: 280·30³/12 + 8400·(255 − 229,9)² = 5,929 × 10⁶ mm⁴

стенка: 8·240³/12 + 1920·(120 − 229,9)² = 3,24 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,929 × 10⁶ + 3,24 × 10⁷ = 3,833 × 10⁷ mm⁴

Напряжение изгиба

Нижний край на расстоянии ȳ от оси.

y = 229,9 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·229,9/3,833 × 10⁷ = 29,99 MPa

Ответ

σ_низ = 29,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics