Статика: шпаргалка-пакет

Листы формул, ключевые шаги методов по каждой теме и тренировочные задачи (12) с полными решениями в конце.

Новые задачи Назад к курсу

В окне печати выберите «Сохранить как PDF», чтобы сохранить копию на своём устройстве.

1Формулы и методы

Векторы: скалярное и векторное произведения

Модуль: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Единичный вектор: û = a/|a|
Компоненты по углу: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Скалярное произведение: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Скалярная проекция a на b: a·b/|b|
Работа: W = F·d
Векторное произведение: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Площади: параллелограмм |a × b|, треугольник ½|a × b|
Момент относительно O: M_O = r × F, r = A − O
Объём параллелепипеда: V = |a·(b × c)|

Метод

Записывайте каждый вектор в компонентах; для силы, заданной модулем и углом, используйте F·cos θ и F·sin θ.
Для длин и направлений используйте модуль √(x² + y² + z²) и единичный вектор a/|a|.
Скалярное произведение применяйте для углов, проекций, перпендикулярности и работы: a·b = |a||b|cos θ.
Векторное произведение применяйте для перпендикулярных векторов, площадей и моментов: аккуратно записывайте три компоненты, сохраняя порядок a × b.

Опорные реакции балок

Равновесие: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки
Момент: M = F·d

Метод

Нарисуйте расчётную схему и замените каждую опору её реакциями.
Замените каждую распределённую нагрузку одной силой, приложенной в её центре тяжести.
Возьмите моменты относительно одной опоры, чтобы найти реакцию другой.
Найдите оставшуюся реакцию из ΣF_y = 0 и проверьте вторым уравнением моментов.

Ферма: метод вырезания узлов

Метод вырезания узлов: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Метод сечений: ΣM = 0 about a cut point
Усилие в стержне: положительное = растяжение, отрицательное = сжатие

Метод

Найдите опорные реакции для всей фермы.
Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.

Рамы и механизмы

Равновесие каждого элемента: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент: сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире: равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире: F = √(F_x² + F_y²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг: F_in·a = F_out·b
Коленно-рычажный механизм: F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка: равнодействующая w·L в середине нагрузки

Метод

Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0; составляющие объедините в модуль в конце.

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечная сила и момент: V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба: σ = M·y/I
Прямоугольник: I = bh³/12
Момент сопротивления сечения: W = I/y_max
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка: M_max = wL²/8

Метод

Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.

Центр тяжести и момент инерции

Центр тяжести: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Прямоугольник: I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей: I = I_c + A·d²
Составное сечение: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Тренировочные задачи

1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя

Найдите угол θ между векторами a = (5, −4, 4) и b = (1, 2, 1) в градусах.

a = (5, −4, 4)b = (1, 2, 1)

θ = °

2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная

Сила F = (−50, 10, −60) N действует в точке A(1, 3, 0). Координаты даны в метрах. Найдите x-компоненту M_x момента силы относительно начало координат O(0, 0, 0).

F = (−50, 10, −60) NA(1, 3, 0) mO(0, 0, 0) m

M_x = N·m

3.Опорные реакции балокСредняя

Консольная балка защемлена в стене в точке A. Она нагружена равномерно распределённой нагрузкой w от стены до 3,5 m и сосредоточенной силой P на расстоянии 2 m от стены. Найдите величину реактивного момента M_A в заделке.

L = 5 mP = 55 kN в 2 mw = 4 kN/m от 0 до 3,5 m

M_A = kN·m

4.Опорные реакции балокСложная

Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию R_A.

L = 8 mP = 25 kN в 7 mw = 2 kN/m от 0 до 3 m

R_A = kN

5.Ферма: метод вырезания узловСредняя

Методом вырезания узлов найдите усилие F_AB в стержне AB. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.

пролёт = 5 mвысота = 3 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 50 kN

F_AB = kN

6.Ферма: метод вырезания узловСложная

Ровно один элемент этой фермы не несёт усилия при данных нагрузках. Какой это нулевой элемент? Нажмите на него на схеме.

F: 35 kN ↓G: 30 kN ↓H: 10 kN ←

1элемент AB
2элемент BC
3элемент CD
4элемент DE
5элемент FG
6элемент GH
7элемент AF
8элемент HE
9элемент BF
10элемент CG
11элемент DH
12элемент BG
13элемент DG

7.Рамы и механизмыСредняя

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 8 m друг от друга, а B находится на высоте 2 m над землёй и на 1,2 m правее A. Вертикальная нагрузка 6 kN действует на элемент AB в точке K на расстоянии 0,9 m (по горизонтали) от A. Найдите силу F_BC в элементе BC.

P = 6 kNL = 8 mH = 2 mгоризонтальное расстояние от A до B = 1,2 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,9 m

F_BC = kN

8.Рамы и механизмыСложная

Рама на рисунке имеет шарниры в A, B и C; A и C закреплены на земле на расстоянии 6 m друг от друга, а B находится на высоте 3 m и на 0,9 m правее A. Элемент AB несёт вертикальную нагрузку 6 kN в точке K на расстоянии 0,675 m (по горизонтали) от A и горизонтальную нагрузку 2 kN, направленную вправо, в точке B. Найдите величину горизонтальной реакции A_x в A.

P = 6 kNQ = 2 kNL = 6 mH = 3 mгоризонтальное расстояние от A до B = 0,9 mгоризонтальное расстояние от A до K = 0,675 m

A_x = kN

9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя

Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.

10 kN @ 6 m50 kN @ 8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная

Шарнирно опёртая балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой на части пролёта. Найдите наибольший изгибающий момент M_max в балке.

L = 4 mw = 12 kN/m от 1 до 3 m

M_max = kN·m

11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя

Швеллер расположен открытой стороной вверх: стенка-основание шириной 280 mm с двумя вертикальными полками полной высотой 180 mm. Толщина основания и полок 16 mm. Найдите его момент инерции I_x относительно горизонтальной оси x, проходящей через центр тяжести.

b = 280 mmh = 180 mmt = 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерцииСложная

Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 40 MPa при растяжении и 100 MPa при сжатии. Найдите наибольший положительный изгибающий момент M_allow, который может воспринять балка.

b_f = 240 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

3Растворы

1.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: θ = 86,9 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Скалярное произведение

a·b = 5·1 + (−4)·2 + 4·1 = 1

Модули

|a| = √(5² + (−4)² + 4²) = 7,55

|b| = √(1² + 2² + 1²) = 2,449

Угол

cos θ = 1/(7,55·2,449) = 0,05407

θ = arccos(0,05407) = 86,9°

Ответ

θ = 86,9°

2.Векторы: скалярное и векторное произведения

Ответ: M_x = −180 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Радиус-вектор из O в A

r = A − O = (1, 3, 0) − (0, 0, 0) = (1, 3, 0) m

Момент M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = 3·(−60) − 0·10 = −180 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = 0·(−50) − 1·(−60) = 60 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 1·10 − 3·(−50) = 160 N·m

Искомая компонента

M_x = −180 N·m

Ответ

M_x = −180 N·m

3.Опорные реакции балок

Ответ: M_A = 134,5 kN·m

Равновесие консоли: заделка может давить вверх и препятствовать повороту, поэтому она даёт вертикальную реакцию R_A и реактивный момент M_A. ΣF_y = 0 даёт R_A, а моменты относительно стены дают M_A = Σ(нагрузка × расстояние от стены). Распределённая нагрузка действует как её равнодействующая, приложенная в центре тяжести эпюры нагрузки.

Равнодействующая распределённой нагрузки

W = 4·3,5 = 14 kN, x̄ = 1,75 m

Момент относительно стены

M_A = P·a + W·x̄ = 55·2 + 14·1,75 = 134,5 kN·m

Ответ

M_A = 134,5 kN·m

4.Опорные реакции балок

Ответ: R_A = 8 kN

Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.

Расчётная схема

Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.

Равновесие

Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 2·3 = 6 kN, приложена в x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·7 + 2·3·1,5

R_B = 184/8 = 23 kN

ΣF_y = 0: R_A = 31 − 23 = 8 kN

Ответ

R_A = 8 kN

5.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: F_AB = −42,16 kN

Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣF_x = 0 и ΣF_y = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.

Опорные реакции

Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 50·1 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 10 = 40 kN

Узел A

Предположите, что каждый стержень растянут (тянет от узла). Только AB имеет вертикальную составляющую в узле A.

sin α = 3/3,162 = 0,9487

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −40/0,9487 = −42,16 kN

Ответ

F_AB = −42,16 kN (сжатие)

6.Ферма: метод вырезания узлов

Ответ: элемент CG

Нулевые элементы: в узле силы должны уравновешиваться по всем направлениям. Если в узле нет нагрузки и опоры, а два из трёх его элементов лежат на одной прямой, то баланс поперёк этой прямой включает только третий элемент, поэтому его усилие равно нулю. Если в ненагруженном узле сходятся только два элемента и они не лежат на одной прямой, оба равны нулю.

Узел C

BC и CD лежат на одной прямой, и узел не нагружен. Баланс сил поперёк этой прямой оставляет только CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

Проверка методом вырезания узлов

Расчёт всех узлов даёт эти усилия в элементах (T = растяжение, C = сжатие).

AB: 23,44 kN (T), BC: 30,62 kN (T), CD: 30,62 kN (T), DE: 15,31 kN (T), FG: 33,44 kN (C), GH: 25,31 kN (C), AF: 55,73 kN (C), HE: 25,52 kN (C), BF: 9,583 kN (T), CG: 0, DH: 20,42 kN (T), BG: 11,98 kN (C), DG: 25,52 kN (C)

Ответ

Нулевой элемент: CG

7.Рамы и механизмы

Ответ: F_BC = 2,392 kN

Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.

Двухсиловой элемент BC

BC = √(6,8² + 2²) = 7,088 m

Вся рама: моменты относительно A

Земля действует на BC в точке C вдоль CB; её горизонтальная составляющая проходит через A, момент создаёт только вертикальная.

F_BC·(2/7,088)·8 = 6·0,9

F_BC = 2,392 kN (сжатие)

Ответ

F_BC = 2,392 kN

8.Рамы и механизмы

Ответ: A_x = 0,8475 kN

Направление BC

BC = 5,917 m, cos = 0,8619, sin = 0,507

Вся рама: моменты относительно A

F_BC·0,507·6 = 6·0,675 + 2·3

F_BC = 3,304 kN

Горизонтальный баланс

A_x + 2 − 3,304·0,8619 = 0

A_x = 0,8475 kN → |A_x| = 0,8475 kN

Ответ

A_x = 0,8475 kN

A_x направлена вправо.

9.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: E (x = 8 m)

Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.

Опорные реакции

Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.

R₁ = 21,67 kN, R₂ = 38,33 kN

Изгибающий момент в каждой отметке

Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.

M_A = 0, M_B = 43,33, M_C = 86,67, M_D = 130, M_E = 153,3 kN·m, M_F = 76,67, M_G = 0

Ответ

Отметка E: M_E = 153,3 kN·m

10.Поперечная сила и изгибающий момент

Ответ: M_max = 18 kN·m

Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения. Наибольший момент: поскольку dM/dx = V, изгибающий момент достигает максимума там, где поперечная сила проходит через ноль, — либо под сосредоточенной силой, либо в пределах распределённой нагрузки.

Опорные реакции

Равновесие всей балки.

Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN, приложена в x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·2·2

R_B = 48/4 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Нулевая поперечная сила

Поперечная сила начинается с R_A, постоянна на любом незагруженном участке и убывает с наклоном w в пределах нагрузки.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 12/12 = 2 m

Наибольший момент

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 12·2 − 12·1²/2 = 18 kN·m

Ответ

M_max = 18 kN·m

11.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: I_x = 31,43 × 10⁶ mm⁴

Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.

Разбиваем на прямоугольники

Возьмите основание во всю ширину и две полки над ним (высотой h − t), чтобы ничего не учитывать дважды.

основа: A₁ = 280·16 = 4480 mm², y₁ = 8 mm

две полки: A₂ = 2·16·164 = 5248 mm², y₂ = 16 + 164/2 = 98 mm

Центр тяжести

ȳ = (4480·8 + 5248·98)/9728 = 56,55 mm

Теорема о параллельном переносе осей

основа: 280·16³/12 + 4480·(8 − 56,55)² = 1,066 × 10⁷ mm⁴

две полки: 2·16·164³/12 + 5248·(98 − 56,55)² = 2,078 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,066 × 10⁷ + 2,078 × 10⁷

I_x = 3,143 × 10⁷ mm⁴ = 31,43 × 10⁶ mm⁴

Ответ

I_x = 31,43 × 10⁶ mm⁴

12.Центр тяжести и момент инерции

Ответ: M_allow = 13,73 kN·m

Центр тяжести

ȳ = (2400·265 + 5200·130)/7600 = 172,6 mm

верхняя кромка: c = 270 − 172,6 = 97,37 mm

Момент инерции сечения

I = 240·10³/12 + 2400·92,37² + 20·260³/12 + 5200·42,63² = 5,924 × 10⁷ mm⁴

Момент, допускаемый каждой кромкой

Положительный момент: верх сжат, низ растянут.

верхняя кромка: M = 100·5,924 × 10⁷/97,37 = 60,84 kN·m

нижняя кромка: M = 40·5,924 × 10⁷/172,6 = 13,73 kN·m

Определяющее значение

M_allow = min = 13,73 kN·m (нижняя кромка)

Ответ

M_allow = 13,73 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics