Метод вырезания узлов: начните с узла, где не более двух неизвестных усилий, и используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0.
Метод сечений: рассеките нужный стержень и возьмите моменты относительно точки, где пересекаются остальные неизвестные стержни.
Предполагайте растяжение; отрицательный ответ означает сжатие.
Рамы и механизмы
Равновесие каждого элемента
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Двухсиловой элемент
сила направлена вдоль прямой, проходящей через два его шарнира
Сила в шарнире
равны по модулю и противоположны по направлению на двух соединяемых ими элементах
Модуль силы в шарнире
F = √(Fx² + Fy²)
Рычаг, плоскогубцы, угловой рычаг
Fin·a = Fout·b
Коленно-рычажный механизм
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Равномерная нагрузка
равнодействующая w·L в середине нагрузки
Метод
Нарисуйте всю конструкцию и найдите опорные реакции, если неизвестных не больше трёх.
Найдите двухсиловые элементы: они нагружены только в двух шарнирах, поэтому их сила направлена вдоль прямой между шарнирами.
Разберите раму на части и нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах в местах соединения элементов.
Для каждого элемента возьмите моменты относительно шарнира с неизвестными силами, затем используйте ΣFx = 0 и ΣFy = 0; составляющие объедините в модуль в конце.
Поперечная сила и изгибающий момент
Поперечная сила и момент
V = ΣF с одной стороны, M = ΣF·d с одной стороны
Напряжение изгиба
σ = M·y/I
Прямоугольник
I = bh³/12
Момент сопротивления сечения
W = I/ymax
Шарнирно опёртая, равномерная нагрузка
Mmax = wL²/8
Метод
Найдите опорные реакции из равновесия всей балки.
Рассеките балку в нужном сечении и оставьте одну часть.
Поперечная сила: сумма вертикальных сил на этой части. Изгибающий момент: сумма их моментов относительно сечения.
Чтобы найти максимальный момент, найдите сечение, где поперечная сила равна нулю.
Центр тяжести и момент инерции
Центр тяжести
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Прямоугольник
I = bh³/12
Теорема о параллельном переносе осей
I = Ic + A·d²
Составное сечение
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Тренировочные задачи
1.Векторы: скалярное и векторное произведенияСредняя
Найдите скалярное произведение a·b векторов a = (2, 3, 6) и b = (−1, 3, 3).
a = (2, 3, 6)b = (−1, 3, 3)
a·b =
2.Векторы: скалярное и векторное произведенияСложная
Найдите объём V параллелепипеда, рёбра которого из одной вершины равны a = (1, 2, 5), b = (5, −3, −2) и c = (4, −4, 5).
a = (1, 2, 5)b = (5, −3, −2)c = (4, −4, 5)
V =
3.Опорные реакции балокСредняя
Балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную опору в B на расстоянии 5 m от A и консольный свес за B до свободного конца C. Найдите вертикальную реакцию RA, считая положительным направление вверх.
AB = 5 mAC = 8 mP1 = 25 kN в 4 mP2 = 15 kN в 8 m
RA = kN
4.Опорные реакции балокСложная
Шарнирно опёртая балка имеет неподвижную шарнирную опору в A и подвижную в B. Найдите вертикальную опорную реакцию RB.
L = 6 mP = 30 kN в 2,5 mw = 8 kN/m от 4 до 6 m
RB = kN
5.Ферма: метод вырезания узловСредняя
Методом вырезания узлов найдите усилие FBC в стержне BC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.
пролёт = 6 mвысота = 2 mB на расстоянии 1 m от Aвертикальная нагрузка = 25 kN
FBC = kN
6.Ферма: метод вырезания узловСложная
Методом вырезания узлов найдите усилие FAC в стержне AC. Растяжение указывайте положительным, сжатие — отрицательным.
пролёт = 6 mвысота = 4 mB на расстоянии 5 m от Aвертикальная нагрузка = 45 kNгоризонтальная нагрузка = 15 kN ←
FAC = kN
7.Рамы и механизмыСредняя
Горизонтальная балка AB закреплена шарниром на стене в A и подпёрта стойкой CD, закреплённой шарниром на стене в C, на 1,5 m ниже A. В точке B подвешена нагрузка 15 kN. Весом пренебрегите. Найдите модуль силы A в шарнире, действующей на балку в A.
P = 15 kNAD = 1,5 mAB = 3 mAC = 1,5 m
A = kN
8.Рамы и механизмыСложная
Однородная горизонтальная стрела AB весом 1 kN закреплена шарниром на стене в A и удерживается тросом от B до точки C на стене на 1,5 m выше A. В точке B подвешена нагрузка 8 kN. Найдите модуль реакции A в шарнире.
W = 8 kNWb = 1 kNAB = 5 mAC = 1,5 m
A = kN
9.Поперечная сила и изгибающий моментСредняя
Найдите изгибающий момент Mx в сечении x = 4 m от опоры A. Положительными считайте моменты, растягивающие нижние волокна, и поперечную силу, направленную вверх на левой грани.
L = 10 mw = 3 kN/m от 0 до 10 mx = 4 m
Mx = kN·m
10.Поперечная сила и изгибающий моментСложная
Отметки от A до G делят балку на шесть равных частей. В какой отметке изгибающий момент наибольший по величине, положительный или отрицательный? Нажмите на неё на схеме.
25 kN @ 12 m25 kN @ 4 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Центр тяжести и момент инерцииСредняя
Круглая труба имеет наружный диаметр D = 130 mm и внутренний диаметр d = 102 mm. Найдите его радиус инерции r относительно горизонтальной центральной оси.
D = 130 mmd = 102 mm
r = mm
12.Центр тяжести и момент инерцииСложная
Чугунная балка имеет показанное тавровое сечение с полкой сверху. Допускаемые напряжения: 35 MPa при растяжении и 100 MPa при сжатии. Найдите наибольший положительный изгибающий момент Mallow, который может воспринять балка.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Перемножьте соответствующие компоненты и сложите
a·b = 2·(−1) + 3·3 + 6·3 = (−2) + 9 + 18 = 25
Ответ
a·b = 25
Положительное: угол между векторами меньше 90°.
2.Векторы: скалярное и векторное произведения
Ответ: V = 129
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Векторное произведение b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = (−3)·5 − (−2)·(−4) = −23
(b × c)y = bzcx − bxcz = (−2)·4 − 5·5 = −33
(b × c)z = bxcy − bycx = 5·(−4) − (−3)·4 = −8
Скалярное произведение с a
a·(b × c) = 1·(−23) + 2·(−33) + 5·(−8) = −129
V = |−129| = 129
Ответ
V = 129
3.Опорные реакции балок
Ответ: RA = −4 kN
Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Замените каждую распределённую нагрузку её равнодействующей (площадью эпюры нагрузки), приложенной в центре тяжести эпюры, и составьте уравнение моментов относительно опоры, чтобы исключить её реакцию.
Моменты относительно A
Против часовой стрелки — положительно.
ΣMA = 0: RB·5 = 25·4 + 15·8
RB = 220/5 = 44 kN
Равновесие по вертикали
RA = 25 + 15 − 44 = −4 kN
Ответ
RA = −4 kN
RA отрицательна: шарнир A должен удерживать балку от отрыва.
4.Опорные реакции балок
Ответ: RB = 25,83 kN
Статическое равновесие: для покоящегося тела ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0 относительно любой точки. Моменты относительно одной опоры исключают её реакцию из уравнения.
Расчётная схема
Замените опоры силами реакции. Подвижная опора даёт одну вертикальную реакцию; если нагрузки только вертикальные, неподвижная шарнирная опора тоже даёт одну вертикальную реакцию.
Равновесие
Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки. Затем равновесие вертикальных сил.
Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN, приложена в x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 30·2,5 + 8·2·5
RB = 155/6 = 25,83 kN
ΣFy = 0: RA = 46 − 25,83 = 20,17 kN
Ответ
RB = 25,83 kN
5.Ферма: метод вырезания узлов
Ответ: FBC = −11,22 kN
Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.
Опорные реакции
Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.
ΣMA = 0: Cy·6 = 25·1 → Cy = 4,167 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 4,167 = 20,83 kN
Узел C
Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.
sin γ = 2/5,385 = 0,3714, cos γ = 5/5,385 = 0,9285
Метод вырезания узлов: каждый узел фермы находится в равновесии, поэтому в каждом узле ΣFx = 0 и ΣFy = 0. Начните с узла, где не больше двух неизвестных усилий. Отрицательный результат означает, что стержень сжат.
Опорные реакции
Равновесие всей фермы. Моменты относительно A, положительные против часовой стрелки.
ΣMA = 0: Cy·6 = 45·5 − 15·4 → Cy = 27,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 27,5 = 17,5 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN
Узел C
Подвижная опора даёт только вертикальную реакцию, поэтому в узле C всего два неизвестных усилия в стержнях. Предположите, что оба растянуты.
sin γ = 4/4,123 = 0,9701, cos γ = 1/4,123 = 0,2425
Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.
Сила в стойке
FCD = 15·3/(0,7071·1,5) = 42,43 kN
Составляющие в A
Ax = FCD·cos α = 30 kN (к стене)
Ay = 15 − FCD·sin α = −15 kN
Модуль
A = √(30² + −15²) = 33,54 kN
Ответ
A = 33,54 kN
Отрицательное Ay означает, что стена тянет балку вниз в точке A.
8.Рамы и механизмы
Ответ: A = 28,34 kN
Рамы и механизмы: в отличие от фермы, рама содержит хотя бы один элемент, который воспринимает силы более чем в двух точках или нагрузку между шарнирами. Сначала найдите двухсиловые элементы: у элемента, нагруженного только в двух шарнирах, сила направлена вдоль прямой через них, поэтому он добавляет одну неизвестную, а не две. Затем используйте всю конструкцию для опорных реакций, если неизвестных не больше трёх. Наконец, разберите раму: нарисуйте каждый элемент отдельно, с равными и противоположными силами в шарнирах на двух соединяемых ими элементах, и запишите для него ΣFx = 0, ΣFy = 0 и ΣM = 0. Моменты относительно шарнира исключают из уравнения обе составляющие силы в этом шарнире.
Натяжение троса
T = (8 + 1/2)/0,2873 = 29,58 kN
Составляющие в A
Ax = T·cos β = 28,33 kN
Ay = 8 + 1 − T·sin β = 0,5 kN
Модуль
A = √(28,33² + 0,5²) = 28,34 kN
Ответ
A = 28,34 kN
9.Поперечная сила и изгибающий момент
Ответ: Mx = 36 kN·m
Метод сечений: рассеките балку там, где нужны внутренние усилия, и оставьте одну часть. Поперечная сила V уравновешивает вертикальные силы этой части, а изгибающий момент M — их моменты относительно сечения.
Опорные реакции
Равновесие всей балки.
Равнодействующая распределённой нагрузки: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, приложена в x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 3·10·5
RB = 150/10 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 15 = 15 kN
Рассеките в x = 4 m и оставьте левую часть
Учитываются только силы левее сечения. Участок распределённой нагрузки действует как одна сила посередине этого участка.
M = RA·x − (каждая нагрузка левее сечения × её расстояние до сечения)
Mx = 15·4 − 3·4·2 = 36 kN·m
Ответ
Mx = 36 kN·m
10.Поперечная сила и изгибающий момент
Ответ: E (x = 8 m)
Наибольший изгибающий момент: наклон M меняется там, где меняется поперечная сила, поэтому его пики находятся там, где поперечная сила проходит через нуль: под сосредоточенной силой, внутри распределённой нагрузки или над опорой консольного свеса. В жёсткой заделке консоли момент наибольший у стены. Сравните величину M в этих местах, положительную или отрицательную.
Опорные реакции
Возьмите моменты относительно одной опоры, затем используйте баланс вертикальных сил.
R1 = 0 kN, R2 = 50 kN
Изгибающий момент в каждой отметке
Сложите моменты всех сил по одну сторону от сечения. Прогибающий (растягивающий нижние волокна) момент положителен, выгибающий вверх — отрицателен.
MA = 0, MB = 0, MC = 0, MD = −50, ME = −100 kN·m, MF = −50, MG = 0
Ответ
Отметка E: ME = −100 kN·m
11.Центр тяжести и момент инерции
Ответ: r = 41,31 mm
Момент инерции сечения: для прямоугольника относительно его собственной центральной оси I = bh³/12, а относительно основания bh³/3 (теорема о параллельном переносе осей I = Ic + A·d²). Отверстие учитывают, вычитая его I, если обе части отнесены к одной и той же оси. Момент сопротивления сечения S = I/c, где c — расстояние до крайнего волокна. Радиус инерции r = √(I/A) — это расстояние, на котором вся площадь дала бы тот же I; он используется при расчёте колонн на устойчивость.
Площадь и момент инерции нетто
A = π(D² − d²)/4 = 5102 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 8,706 × 10⁶ mm⁴
Радиус инерции
r = √(I/A) = √(8,706 × 10⁶/5102) = 41,31 mm
Ответ
r = 41,31 mm
12.Центр тяжести и момент инерции
Ответ: Mallow = 2,625 kN·m
Составные сечения: разбейте сечение на прямоугольники. Центр тяжести — среднее, взвешенное по площадям: ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Момент инерции относительно центральной оси складывается из собственного bh³/12 каждой части и члена переноса A·d², где d — расстояние от центра тяжести части до общего центра тяжести. Напряжение изгиба σ = M·y/I.